Calcolo Esempi

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ come funzione.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.6.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.1.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.1.1.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Passaggio 2.1.1.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Passaggio 2.1.1.10.2

$2$ e $\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 2.1.1.10.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 2.1.1.10.4

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.9.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.9.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.9.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.12

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.13.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.13.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.13.3

$- 2$ e $\frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.13.4

$\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.17

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.19

Per scrivere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.20

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.22

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.22.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.22.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.22.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.22.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.23

Semplifica ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.24

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.25

Riscrivi $\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.1.2.26

Moltiplica $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.27

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.27.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 2.1.2.27.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.27.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.27.4

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.28

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 2.1.2.29

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.30.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.30.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.30.3.1.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.3.1.2

Moltiplica $4 (3 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.30.3.1.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.3.1.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12 x^{2} + 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 12 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.3.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.30.4.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.4.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.30.4.3

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x^{2} + 3) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x^{2} + 3) = 0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2} + 3$ per $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 2.2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 2.2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Passaggio 2.2.3.4.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 2.2.3.4.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} + 3)}{9 {({(0)}^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 (0 + 3)}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.1.2

Somma $0$ e $3$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f'' (0) = \frac{12}{9 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f'' (0) = \frac{12}{9}$

Passaggio 5.2.3.3

Elimina il fattore comune di $12$ e $9$ .

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Passaggio 5.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$f'' (0) = \frac{3 (4)}{9}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Passaggio 5.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Passaggio 5.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Il grafico è una funzione convessa

Passaggio 6