Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.6.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.2

Combina i termini opposti in $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.2.1

Sottrai $4 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.2.2

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$\frac{- 4 x + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.3

Somma $- 4 x$ e $2 x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.7.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.7.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.7.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 1)}^{2} (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot {(x - 1)}^{2} (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.3

$- 2$ e $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1

Applica la regola del prodotto a ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.1

Scomponi $2 (x + 1) (x - 1)$ da $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.1.1

Scomponi $2 (x + 1) (x - 1)$ da $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.1.2

Scomponi $2 (x + 1) (x - 1)$ da $2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.1.3

Scomponi $2 (x + 1) (x - 1)$ da $2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.1.4

Scomponi $2 (x + 1) (x - 1)$ da $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.1.5

Scomponi $2 (x + 1) (x - 1)$ da $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.3.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.3.4.1

Sposta $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.3.7.1

Sposta $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.4

Combina i termini opposti in $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.4.4.1

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.4.2

Somma $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.4.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.9.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.5.3

Elimina il fattore comune di $x + 1$ e ${(x + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.5.3.1

Scomponi $x + 1$ da $2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.5.3.2.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Passaggio 2.1.2.9.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Passaggio 2.1.2.9.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{(2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.5.4

Elimina il fattore comune di $x - 1$ e ${(x - 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.5.4.1

Scomponi $x - 1$ da $2 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.5.4.2.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.2.9.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.2.9.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.9

Riscrivi $- (3 x^{2} + 1)$ come $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.12

Moltiplica $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (3 x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} + 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} + 1) = 0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.3.1.2.1.2

Dividi $3 x^{2} + 1$ per $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = - 1$

Passaggio 2.2.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.2.3.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.2.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 2.2.3.5

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Riscrivi $- \frac{1}{3}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Passaggio 2.2.3.5.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Passaggio 2.2.3.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Passaggio 2.2.3.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.2.3.5.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.3.5.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.3.5.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 2.2.3.5.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.2.3.5.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.2.3.5.7.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.2.3.5.8

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.2.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.2.3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.2.3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 3.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 3.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1, - 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1, - 1}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} + 1)}{{((- 4) + 1)}^{3} {((- 4) - 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $48$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 {(- 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 \cdot - 125}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $49$ .

$f'' (- 4) = \frac{98}{- 27 \cdot - 125}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $- 27$ per $- 125$ .

$f'' (- 4) = \frac{98}{3375}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $\frac{98}{3375}$ .

$\frac{98}{3375}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.4

Applica la regola del prodotto a $- 1 \cdot (0 - 1)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Passaggio 6.2.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica ${(0 - 1)}^{3}$ per ${(0 - 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.2.6.1

Sposta ${(0 - 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Passaggio 6.2.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Passaggio 6.2.2.6.3

Somma $3$ e $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.4.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Passaggio 6.2.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1}$

Passaggio 6.2.5.2

Dividi $2$ per $- 1$ .

$f'' (0) = - 2$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 1, 1)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = \frac{2 (3 {(4)}^{2} + 1)}{{((4) + 1)}^{3} {((4) - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f'' (4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $48$ e $1$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $4$ e $1$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} \cdot 3^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 3^{3}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 27}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica.

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Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $2$ per $49$ .

$f'' (4) = \frac{98}{125 \cdot 27}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $125$ per $27$ .

$f'' (4) = \frac{98}{3375}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{98}{3375}$ .

$\frac{98}{3375}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 9