Calcolo Esempi

$f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 5 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$7 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$7 + 5 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$7 - 5 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x^{- 2} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x^{- 3} + 0$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $10 x^{- 3}$ e $0$ .

$10 x^{- 3}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

$10$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{x^{3}}$ .

$\frac{10}{x^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{10}{x^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{10}{x^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$10 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $10 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la base in $x^{- 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x = 0$

Passaggio 2.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{10}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{10}{- 8}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $10$ e $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (5)}{- 8}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{5}{- 4}$

Passaggio 4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 2) = - \frac{5}{4}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{10}{{(2)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = \frac{10}{8}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $10$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$f'' (2) = \frac{2 (5)}{8}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7