Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{x + 6}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 6}$ come ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 6$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 6$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.8.3

Sposta ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.11

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.12.2

Moltiplica $\frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.14

Moltiplica ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.15

Per scrivere ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.16

${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.18

Moltiplica ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.18.1

Sposta ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.18.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 6) \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.19

Semplifica ${(x + 6)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 6) \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.20

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 6$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 6)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 6}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.21.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.21.2.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.21.2.2

Somma $x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.21.3

Scomponi $3$ da $3 x + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.21.3.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.21.3.2

Scomponi $3$ da $12$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 3 \cdot 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.21.3.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 4}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 4$ e $g (x) = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.5.4.2

Moltiplica ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.11.3

Sposta ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (6)))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.14

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.15.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.15.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 6}$

Passaggio 1.1.2.15.3

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 6}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 6)}$

Passaggio 1.1.2.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 6)}$

Passaggio 1.1.2.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 6)}$

Passaggio 1.1.2.16.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.4.1

Scomponi $3$ da $3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.1.2

Scomponi $3$ da $3 (- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.2

Sia $u_{2} = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ con $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.4.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.4.2.2.1

Sposta $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.2.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 6) - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1.2

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 6) - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 6 - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.4.1.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 12 - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.4.2

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 12 - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.4.4.3

Sottrai $4$ da $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 8}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.5.1

$3$ e $\frac{x + 8}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.2.16.5.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 12}$

Passaggio 1.1.2.16.5.3

Riscrivi $\frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 12}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 12}$

Passaggio 1.1.2.16.5.4

Moltiplica $\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{2 x + 12}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 12)}$

Passaggio 1.1.2.16.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.6.1

Scomponi $2$ da $2 x + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.6.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 12)}$

Passaggio 1.1.2.16.6.1.2

Scomponi $2$ da $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 6)}$

Passaggio 1.1.2.16.6.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 6))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 6))}$

Passaggio 1.1.2.16.6.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.6.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (x + 6)}$

Passaggio 1.1.2.16.6.2.2

Eleva $x + 6$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 ((x + 6) {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.1.2.16.6.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.16.6.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.16.6.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.16.6.2.6

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 (x + 8) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 8) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 8) = 0$ .

$\frac{3 (x + 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x + 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.1.2.1.2

Dividi $x + 8$ per $1$ .

$x + 8 = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 1.2.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = x \sqrt{x + 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 6}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 6 \geq 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 6$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 6, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - 6}$

Notazione degli intervalli:

$[- 6, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - 6}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$[- 6, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $[- 6, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{3 ((0) + 8)}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $4$ da $3 ((0) + 8)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 ({((0) + 6)}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{3 (0 + 2)}{{((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.3

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 2}{{(0 + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Somma $0$ e $6$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 2}{6^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (0) = \frac{6}{6^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.6

Sposta $6^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{- 1}}$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $6^{\frac{3}{2}}$ per $6^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} - 1}}$

Passaggio 4.2.7.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.7.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 4.2.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 4.2.7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Passaggio 4.2.7.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.8

La risposta finale è $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $[- 6, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $[- 6, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5