Calcolo Esempi

$p (x) = \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 1.1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Passaggio 1.1.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1.1.1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.1.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Passaggio 1.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Passaggio 1.1.2.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.11.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Passaggio 1.1.2.11.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Passaggio 1.1.2.11.3

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $p (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Il grafico è una funzione concava perché la derivata seconda è negativa.

Il grafico è una funzione concava

Passaggio 4