Calcolo Esempi

$f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.1.2.9

$- 3$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.1.2.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.2.11

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.2.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.12.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 1.1.1.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.6.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.10.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.12

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.13

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.14

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.14.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.14.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.14.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.14.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.14.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.15

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.16

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.17

Moltiplica $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.18

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ per $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 1.1.2.2.19

Somma $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$x - 3 \sqrt[3]{x^{1}}$

Passaggio 2.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 2.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Il grafico è una funzione convessa perché la derivata seconda è positiva.

Il grafico è una funzione convessa

Passaggio 4