Calcolo Esempi

$y = x - \sin (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x - \sin (x)$ come funzione.

$f (x) = x - \sin (x)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 2.1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Passaggio 2.1.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 2.1.2.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$0 + \sin (x)$

Passaggio 2.1.2.3

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\sin (x) = 0$ .

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Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.2.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 2.2.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.2.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.2.8

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \sin (0)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f'' (0) = 0$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6