Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - x$ , $[0, 4]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = x^{3} - x$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, 4]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, 4)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, 4)$ perché la derivata è continua su $(0, 4)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, 4]$ e differenziabile su $(0, 4)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, 4]$ e differenziabile su $(0, 4)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, 4]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3} - (0)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - (0)$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $0$ da $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[0, 4]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = {(4)}^{3} - (4)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (4) = 64 - (4)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (4) = 64 - 4$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $4$ da $64$ .

$f (4) = 60$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $60$ .

$60$

Passaggio 9

Risolvi $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (4) + f (0))}{- (4 + 0)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $\frac{(60) - (0)}{(4) - (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60 + 0}{4 - (0)}$

Passaggio 9.1.1.2

Somma $60$ e $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 - (0)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 + 0}$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $4$ e $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $60$ per $4$ .

$3 x^{2} - 1 = 15$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 15 + 1$

Passaggio 9.2.2

Somma $15$ e $1$ .

$3 x^{2} = 16$

Passaggio 9.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 16$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Passaggio 9.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{3}$

Passaggio 9.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Passaggio 9.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{16}{3}}$ come $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.3

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.4.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 9.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 9.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 9.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 4$ .

C'è una tangente con $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 4$

Passaggio 11

C'è una tangente che si trova con $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 4$ .

C'è una tangente con $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 4$

Passaggio 12