Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + x - 1$ , $(0, 2)$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = x^{3} + x - 1$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $3 x^{2} + 1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 1$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 1$ .

$3 x^{2} + 1$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, 2)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, 2)$ perché la derivata è continua su $(0, 2)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, 2]$ e differenziabile su $(0, 2)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, 2]$ e differenziabile su $(0, 2)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

Passaggio 7.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Passaggio 7.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Passaggio 7.2.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = - 1$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[0, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

Passaggio 8.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 8 + 2 - 1$

Passaggio 8.2.3

Somma $8$ e $2$ .

$f (2) = 10 - 1$

Passaggio 8.2.4

Sottrai $1$ da $10$ .

$f (2) = 9$

Passaggio 8.2.5

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 9

Risolvi $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $\frac{(9) - (- 1)}{(2) - (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{9 + 1}{2 - (0)}$

Passaggio 9.1.1.2

Somma $9$ e $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 - (0)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 + 0}$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $10$ per $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 5$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 5 - 1$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$3 x^{2} = 4$

Passaggio 9.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 4$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 9.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Passaggio 9.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Passaggio 9.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 9.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 9.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 9.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2$ .

C'è una tangente con $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2$

Passaggio 11

C'è una tangente che si trova con $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2$ .

C'è una tangente con $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2$

Passaggio 12