Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 1$ , $[5, 11]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = x^{2} + 1$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[5, 11]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 3.1.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(5, 11)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(5, 11)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(5, 11)$ perché la derivata è continua su $(5, 11)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[5, 11]$ e differenziabile su $(5, 11)$ .

$f (x)$ è continua su $[5, 11]$ e differenziabile su $(5, 11)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[5, 11]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = {(5)}^{2} + 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = 25 + 1$

Passaggio 7.2.2

Somma $25$ e $1$ .

$f (5) = 26$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $26$ .

$26$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[5, 11]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $11$ nell'espressione.

$f (11) = {(11)}^{2} + 1$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$f (11) = 121 + 1$

Passaggio 8.2.2

Somma $121$ e $1$ .

$f (11) = 122$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $122$ .

$122$

Passaggio 9

Risolvi $2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $2 x = \frac{- (f (11) + f (5))}{- (11 + 5)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $26$ .

$2 x = \frac{122 - 26}{(11) - (5)}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$2 x = \frac{122 - 26}{11 - 5}$

Passaggio 9.1.3

Sottrai $26$ da $122$ .

$2 x = \frac{96}{11 - 5}$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $5$ da $11$ .

$2 x = \frac{96}{6}$

Passaggio 9.1.5

Dividi $96$ per $6$ .

$2 x = 16$

Passaggio 9.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 16$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{16}{2}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Dividi $16$ per $2$ .

$x = 8$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = 8$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 5$ e $b = 11$ .

C'è una tangente con $x = 8$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 5$ e $b = 11$

Passaggio 11