Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[1, 8]$ o no, trova il dominio di $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[1, 8]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 3.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Passaggio 3.1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Passaggio 3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 3.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.1.7.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(1, 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per determinare se la funzione è continua in $(1, 8)$ o no, trova il dominio di $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Passaggio 4.1.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 4.1.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 4.1.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.1.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.1.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.1.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.1.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.1.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 4.1.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 x = 0^{3}$

Passaggio 4.1.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x = 0$

Passaggio 4.1.3.3

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.1.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x = 0$

Passaggio 4.1.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(1, 8)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(1, 8)$ perché la derivata è continua su $(1, 8)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[1, 8]$ e differenziabile su $(1, 8)$ .

$f (x)$ è continua su $[1, 8]$ e differenziabile su $(1, 8)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[1, 8]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[1, 8]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (8) = 2^{2}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (8) = 4$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

Passaggio 9.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

Passaggio 9.2.2

Poiché $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $3, 7$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{1}{3}}$ .

Passaggio 9.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 9.2.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 9.2.5

Poiché $7$ non presenta fattori eccetto $1$ e $7$ .

$7$ è un numero primo

Passaggio 9.2.6

Il minimo comune multiplo di $3, 7$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3 \cdot 7$

Passaggio 9.2.7

Moltiplica $3$ per $7$ .

$21$

Passaggio 9.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{1}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 9.2.9

Il minimo comune multiplo di $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ è la parte numerica $21$ moltiplicata per la parte variabile.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 9.3

Moltiplica per $21 x^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ per $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $21$ .

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.2.3

$7$ e $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.2.4

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.2.5

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.1

Scomponi $7$ da $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 9.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 9.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 9.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riscrivi l'equazione come $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

Passaggio 9.4.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Passaggio 9.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Passaggio 9.4.2.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

Passaggio 9.4.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Passaggio 9.4.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Passaggio 9.4.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Passaggio 9.4.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Passaggio 9.4.4.1.1.2

Semplifica.

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Passaggio 9.4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.2.1

Semplifica ${(\frac{14}{9})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{14}{9}$ .

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

Passaggio 9.4.4.2.1.2

Eleva $14$ alla potenza di $3$ .

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

Passaggio 9.4.4.2.1.3

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$x = \frac{2744}{729}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = \frac{2744}{729}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 8$ .

C'è una tangente con $x = \frac{2744}{729}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 8$

Passaggio 11