Calcolo Esempi

f (x) = e^{- 2 x}

$f (x) = e^{- 2 x}$ ,

[0, 2]

$[0, 2]$

Passaggio 1

f

$f$ è continua sull'intervallo

[a, b]

$[a, b]$ e differenziabile su

(a, b)

$(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale

c

$c$ nell'intervallo

(a, b)

$(a, b)$ tale che

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con

$x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti

$(a, f (a))$ e

$(b, f (b))$ .

Quando

$f (x)$ è continua su

$[a, b]$

e se

$f (x)$ differenziabile su

$(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto,

$c$ in

$[a, b]$ :

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se

$f (x) = e^{- 2 x}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su

$[0, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = e^{x}$ e

$g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

$a^{u} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché

$- 2$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 2 x$ rispetto a

$x$ è

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Passaggio 3.1.2.3.2

Sposta

$- 2$ alla sinistra di

$e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su

$(0, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su

$(0, 2)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su

$(0, 2)$ perché la derivata è continua su

$(0, 2)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su

$[0, 2]$ e differenziabile su

$(0, 2)$ .

$f (x)$ è continua su

$[0, 2]$ e differenziabile su

$(0, 2)$ .

Passaggio 7

Calcola

$f (a)$ dall'intervallo

$[0, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$0$ .

$f (0) = e^{0}$

Passaggio 7.2.2

Qualsiasi valore elevato a

$0$ è

$1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è

$1$ .

$1$

Passaggio 8

Calcola

$f (b)$ dall'intervallo

$[0, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è

$\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Passaggio 9

Risolvi

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per

$x$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica

$\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per

$e^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica

$\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ per

$\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Passaggio 9.1.1.2

Combina.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Passaggio 9.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di

$e^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4.2

Riscrivi

$e^{4} \cdot (1)$ come

${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.4.1

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4.4.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4.4.3

Riscrivi

$e^{2} \cdot 1$ come

${(e \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4.4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.4.5.1

Moltiplica

$e$ per

$1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.4.4.5.2

Moltiplica

$e$ per

$1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Passaggio 9.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Scomponi

$e^{4}$ da

$e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Passaggio 9.1.5.2

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Passaggio 9.1.5.3

Somma

$2$ e

$0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Passaggio 9.1.6

Sposta

$2$ alla sinistra di

$e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Passaggio 9.2

Dividi per

$- 2$ ciascun termine in

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per

$- 2$ ciascun termine in

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi

$e^{- 2 x}$ per

$1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Passaggio 9.2.3.2

Combina.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Passaggio 9.2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.3.1

Moltiplica

$1 + e^{2}$ per

$1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Passaggio 9.2.3.3.2

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Passaggio 9.2.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Passaggio 9.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Passaggio 9.4

Non è possibile risolvere l'equazione perché

$\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 9.5

Non c'è soluzione per

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Nessuna soluzione

Passaggio 10

There are no solution, so there is no

$x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points

$a = 0$ and

$b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points

$a = 0$ and

$b = 2$

Passaggio 11