Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[- 2, 2]$ o no, trova il dominio di $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 6 = 0$

Passaggio 2.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 6$

Passaggio 2.1.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (6)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Passaggio 2.1.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{6}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{6}$

Passaggio 2.1.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Passaggio 2.1.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[- 2, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.1.6.3.2.2

Somma $12 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(- 2, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per determinare se la funzione è continua in $(- 2, 2)$ o no, trova il dominio di $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 4.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poni $x^{2} + 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Passaggio 4.1.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 6$

Passaggio 4.1.2.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.1

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (6)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Passaggio 4.1.2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Passaggio 4.1.2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{6}$

Passaggio 4.1.2.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{6}$

Passaggio 4.1.2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Passaggio 4.1.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(- 2, 2)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(- 2, 2)$ perché la derivata è continua su $(- 2, 2)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[- 2, 2]$ e differenziabile su $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ è continua su $[- 2, 2]$ e differenziabile su $(- 2, 2)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[- 2, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $4$ e $6$ .

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Passaggio 8.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Passaggio 8.1.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

Passaggio 8.1.4

Dividi $0$ per $5$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

Passaggio 8.1.6

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

Passaggio 8.1.7

Dividi $0$ per $4$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

Passaggio 8.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

Passaggio 8.3

Moltiplica per ${(x^{2} + 6)}^{2}$ ciascun termine in $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ per ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $0$ per ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$12 x = 0$

Passaggio 8.4

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 0$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Passaggio 8.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.1

Dividi $0$ per $12$ .

$x = 0$

Passaggio 9

C'è una tangente che si trova con $x = 0$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = - 2$ e $b = 2$ .

C'è una tangente con $x = 0$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = - 2$ e $b = 2$

Passaggio 10