Calcolo Esempi

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ , $[- 3, 3]$

Passaggio 1

Trova la derivata di $f (x) = 9 x^{3} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{3} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{3}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$27 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $27 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 27 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $27 x^{2}$ .

$27 x^{2}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f' (x)$ è continua su $[- 3, 3]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 27 x^{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , sposta $27$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

Passaggio 8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 27}{3}))$

Passaggio 8.2.2.4

Elimina il fattore comune di $- 27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Scomponi $3$ da $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

Passaggio 8.2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

Passaggio 8.2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 8.2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 9}{1}))$

Passaggio 8.2.2.4.2.4

Dividi $- 9$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Passaggio 8.2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Passaggio 8.2.2.6

Somma $9$ e $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \cdot 18)$

Passaggio 8.2.2.7

Moltiplica $27$ per $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (486)$

Passaggio 9

Somma $3$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 486$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $6$ da $486$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (81))$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 81)$

Passaggio 10.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 81$

Passaggio 11