Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x + 4$ , $[2, 5]$

Passaggio 1

Trova la derivata di $f (x) = 5 x + 4$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $5$ e $0$ .

$f' (x) = 5$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5$ .

$5$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f' (x)$ è continua su $[2, 5]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} 5 d x)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (5 x]_{2}^{5})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $5 x$ per $5$ e per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((5 \cdot 5) - 5 \cdot 2)$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (25 - 5 \cdot 2)$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (25 - 10)$

Passaggio 7.2.3

Sottrai $10$ da $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (15)$

Passaggio 8

Sottrai $2$ da $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 15$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 9.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (5))$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 5)$

Passaggio 9.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 5$

Passaggio 10