Calcolo Esempi

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ è continua.

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Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[1, 1]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x^{2} - 2$ .

$9 x^{2} - 2$

Passaggio 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

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Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $Nessuna soluzione$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $Nessuna soluzione$ perché la derivata è continua su $Nessuna soluzione$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[1, 1]$ e differenziabile su $Nessuna soluzione$ .

Nessuna soluzione

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[1, 1]$ .

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 8

L'equazione ha una frazione indefinita.

Indefinito

Passaggio 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

Passaggio 10