Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 4 x - 2$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[1, 3]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 3.1.3.2

Somma $4$ e $0$ .

$f' (x) = 4$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4$ .

$4$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(1, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(1, 3)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(1, 3)$ perché la derivata è continua su $(1, 3)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[1, 3]$ e differenziabile su $(1, 3)$ .

$f (x)$ è continua su $[1, 3]$ e differenziabile su $(1, 3)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[1, 3]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 4 (1) - 2$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 2$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[1, 3]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 4 (3) - 2$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (3) = 12 - 2$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $2$ da $12$ .

$f (3) = 10$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 9

Risolvi $4 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $4 = \frac{- (f (3) + f (1))}{- (3 + 1)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $\frac{(10) - (2)}{(3) - (1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 = \frac{10 - 2}{3 - (1)}$

Passaggio 9.1.1.2

Sottrai $2$ da $10$ .

$4 = \frac{8}{3 - (1)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 = \frac{8}{3 - 1}$

Passaggio 9.1.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$4 = \frac{8}{2}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $8$ per $2$ .

$4 = 4$

Passaggio 9.2

Poiché $4 = 4$ , l'equazione sarà sempre vera.

Sempre vero

Passaggio 10

La rappresentazione grafica è una linea retta. Su ogni $x$ della curva, c'è una tangente parallela alla retta che passa attraverso i punti finali $a = 1$ e $b = 3$ .

C'è una tangente a ogni x sulla curva, che è parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 3$

Passaggio 11