Calcolo Esempi

$y = (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Passaggio 3.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ .

$2 \cdot (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Passaggio 3.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Passaggio 3.2.6

Poiché $\frac{1}{3.5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{3.5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Passaggio 3.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $\frac{1}{3.5}$ per $1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Passaggio 3.2.9

Poiché $3.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3.5}{x}$ rispetto a $x$ è $3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 3.2.10

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 3.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 (- x^{- 2}))$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $- 1$ per $3.5$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 x^{- 2})$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \frac{x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.3.1

$2$ e $\frac{x}{3.5}$ .

$\frac{2 x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.2

$\frac{2 x}{3.5}$ e $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.7

$2$ e $\frac{3.5}{x}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{2 \cdot 3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.8

Moltiplica $2$ per $3.5$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.9

$\frac{7}{x}$ e $x$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.10

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.4.3.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.10.2

Dividi $7$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.11

$- 3.5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{- 3.5}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}})$

Passaggio 3.4.4

Riordina i termini.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$