Calcolo Esempi

$y = 9 - x^{2}$ , $[- 3, 3]$

Passaggio 1

Riordina $9$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 9$

Passaggio 2

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 3

Verifica se $f (x) = - x^{2} + 9$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3.2

$f (x)$ è continua su $[- 3, 3]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 4

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x + 0$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x$ .

$- 2 x$

Passaggio 5

Definisci se la derivata è continua su $(- 3, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 5.2

$f' (x)$ è continua su $(- 3, 3)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 6

La funzione è differenziabile su $(- 3, 3)$ perché la derivata è continua su $(- 3, 3)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 7

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[- 3, 3]$ e differenziabile su $(- 3, 3)$ .

$f (x)$ è continua su $[- 3, 3]$ e differenziabile su $(- 3, 3)$ .

Passaggio 8

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[- 3, 3]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} + 9$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + 9$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- 3) = - 9 + 9$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 9$ e $9$ .

$f (- 3) = 0$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 9

Risolvi $- 2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $- 2 x = \frac{- (f (3) + f (- 3))}{- (3 - 3)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 2 x = \frac{0 + 0}{(3) - (- 3)}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 2 x = \frac{0 + 0}{3 + 3}$

Passaggio 9.1.3

Riduci l'espressione $\frac{0 + 0}{3 + 3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- 2 x = \frac{3 (0) + 0}{3 + 3}$

Passaggio 9.1.3.2

Scomponi $3$ da $0$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3}$

Passaggio 9.1.3.3

Scomponi $3$ da $3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 + 3}$

Passaggio 9.1.3.4

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 (1) + 3}$

Passaggio 9.1.3.5

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.3.6

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot (1 + 1)}$

Passaggio 9.1.3.7

Elimina il fattore comune.

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot (1 + 1)}$

Passaggio 9.1.3.8

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x = \frac{0 + 0}{1 + 1}$

Passaggio 9.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$- 2 x = \frac{0}{1 + 1}$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 x = \frac{0}{2}$

Passaggio 9.1.6

Dividi $0$ per $2$ .

$- 2 x = 0$

Passaggio 9.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 0$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

$x = 0$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = 0$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = - 3$ e $b = 3$ .

C'è una tangente con $x = 0$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = - 3$ e $b = 3$

Passaggio 11