Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} + 5) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 15 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2

Sottrai $2 x^{4}$ da $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} + 15 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Scomponi $x^{2}$ da $15 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 15) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.3

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} + 15) (2 x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} + 15) x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8.2

Scomponi $x^{2} + 5$ da ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.1

Scomponi $x^{2} + 5$ da ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8.2.2

Scomponi $x^{2} + 5$ da $- 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8.2.3

Scomponi $x^{2} + 5$ da $(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Scomponi $x^{2} + 5$ da ${(x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.9.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.12

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.13.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{2} (x^{2} + 15) x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 (x \cdot x^{2}) (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{1 + 2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.16

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.1.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.2

Somma $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.3

Espandi $(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3} + 30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{2} x + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.4.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{1 + 2} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.5

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.1.6

Moltiplica $30$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.4.2

Somma $30 x^{3}$ e $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.5

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 (x^{2} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{2 + 3} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.5.3

Somma $2$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.1.6

Moltiplica $15$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.2

Combina i termini opposti in $4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.4.2.1

Sottrai $4 x^{5}$ da $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x + 0 - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.2.2

Somma $50 x^{3} + 150 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4.3

Sottrai $60 x^{3}$ da $50 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{3} + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5

Scomponi $10 x$ da $- 10 x^{3} + 150 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1

Scomponi $10 x$ da $- 10 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.2

Scomponi $10 x$ da $150 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 10 x (15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.3

Scomponi $10 x$ da $10 x (- x^{2}) + 10 x (15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.7

Riscrivi $15$ come $- 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.9

Riscrivi $- (x^{2} - 15)$ come $- 1 (x^{2} - 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 1 (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$10 x (x^{2} - 15) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 15 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x^{2} - 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x^{2} - 15$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 15 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $x^{2} - 15 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 15$

Passaggio 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

Passaggio 2.3.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{15}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{15}$

Passaggio 2.3.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $10 x (x^{2} - 15) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{{(0)}^{2} + 5}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 5}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 5}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $5$ .

$f (0) = \frac{0}{5}$

Passaggio 3.1.2.3

Dividi $0$ per $5$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\sqrt{15}$ in $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{15}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{15}) = \frac{{(\sqrt{15})}^{3}}{{(\sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{3}$ come $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{3}}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{3375}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi $3375$ come $15^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Scomponi $225$ da $3375$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{225 (15)}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Riscrivi $225$ come $15^{2}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $15$ e $5$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{20}$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $15$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Scomponi $5$ da $15 \sqrt{15}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{20}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

Passaggio 3.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{15}) = \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Passaggio 3.3.2.4

La risposta finale è $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\sqrt{15}$ in $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ è $(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Passaggio 3.5

Sostituisci $- \sqrt{15}$ in $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{15}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- \sqrt{15})}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{3}$ come $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{3}}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.1.4

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{3375}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.1.5

Riscrivi $3375$ come $15^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.5.1

Scomponi $225$ da $3375$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{225 (15)}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.1.5.2

Riscrivi $225$ come $15^{2}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 1 \cdot (15 \sqrt{15})}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{1 {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Moltiplica ${\sqrt{15}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.4

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Passaggio 3.5.2.2.5

Somma $15$ e $5$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{20}$

Passaggio 3.5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 15 \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{20}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 3 \sqrt{15}}{4}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \sqrt{15}) = - \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Passaggio 3.5.2.4

La risposta finale è $- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $- \sqrt{15}$ in $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ è $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \sqrt{15}) \cup (- \sqrt{15}, 0) \cup (0, \sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{15})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.97298334$ nell'espressione.

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{(10 (- 3.97298334)) ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $10$ per $- 3.97298334$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 39.72983346 ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 39.72983346$ per ${(- 3.97298334)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 3.97298334$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $15.78459666$ e $5$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $20.78459666$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{8978.93451047}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $- 31.171895$ per $8978.93451047$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.00347166$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $0.00347166$ .

$0.00347166$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 3.97298334$ , la derivata seconda è $0.00347166$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \sqrt{15})$ .

Crescente su $(- \infty, - \sqrt{15})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \sqrt{15}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.93649167$ nell'espressione.

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{(10 (- 1.93649167)) ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $10$ per $- 1.93649167$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{- 19.36491673 ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 19.36491673$ per ${(- 1.93649167)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1.93649167$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $3.75$ e $5$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{8.75}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $8.75$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{669.921875}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $217.85531322$ per $669.921875$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 1 \cdot 0.3251951$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.3251951$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 0.3251951$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.3251951$ .

$- 0.3251951$

Passaggio 6.3

Per $- 1.93649167$ , la derivata seconda è $- 0.3251951$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \sqrt{15}, 0)$ .

Decrescente su $(- \sqrt{15}, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \sqrt{15})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.93649167$ nell'espressione.

$f'' (1.93649167) = - \frac{(10 (1.93649167)) ({(1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $10$ per $1.93649167$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{19.36491673 ({1.93649167}^{2} - 15)}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $19.36491673$ per ${1.93649167}^{2} - 15$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $1.93649167$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $3.75$ e $5$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{8.75}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $8.75$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{669.921875}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Dividi $- 217.85531322$ per $669.921875$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.3251951$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $0.3251951$ .

$0.3251951$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1.93649167$ , la derivata seconda è $0.3251951$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \sqrt{15})$ .

Crescente su $(0, \sqrt{15})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt{15}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.97298334$ nell'espressione.

$f'' (3.97298334) = - \frac{(10 (3.97298334)) ({(3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $10$ per $3.97298334$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{39.72983346 ({3.97298334}^{2} - 15)}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $39.72983346$ per ${3.97298334}^{2} - 15$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $3.97298334$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $15.78459666$ e $5$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $20.78459666$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{8978.93451047}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $31.171895$ per $8978.93451047$ .

$f'' (3.97298334) = - 1 \cdot 0.00347166$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.00347166$ .

$f'' (3.97298334) = - 0.00347166$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.00347166$ .

$- 0.00347166$

Passaggio 8.3

Per $3.97298334$ , la derivata seconda è $- 0.00347166$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\sqrt{15}, \infty)$ .

Decrescente su $(\sqrt{15}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ .

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Passaggio 10