Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 1) (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2) (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.2

Espandi $(- 2 x - 2) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 2) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.3.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.3

Somma $0$ e $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.3.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.9.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.2.9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.2.9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso