Calcolo Esempi

$f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x^{2} - 6 x - 18$ .

$f' (x) = (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 18) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f' (x) = (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 1.1.2.6

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 1.1.2.7

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 1.1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Passaggio 1.1.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Passaggio 1.1.2.10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + 0)$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.11.2

Moltiplica $x^{2} - 6 x - 18$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.6

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 \cdot x - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.7

Moltiplica $- 3$ per $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.8

Sottrai $6 x$ da $- 6 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 18 - 6 x - 18$

Passaggio 1.1.3.4.10

Sottrai $6 x$ da $- 12 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 18 - 18$

Passaggio 1.1.3.4.11

Sottrai $18$ da $18$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 0$

Passaggio 1.1.3.4.12

Somma $3 x^{2} - 18 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 18 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x - 18$ .

$6 x - 18$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 x - 18 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 x - 18 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = 18$

Passaggio 2.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 18$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{18}{6}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $18$ per $6$ .

$x = 3$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3$ in $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = ((3) - 3) ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 18)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (3) = 0 ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 18)$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 0 (9 - 6 \cdot 3 - 18)$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f (3) = 0 (9 - 18 - 18)$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (3) = 0 (- 9 - 18)$

Passaggio 3.1.2.3.2

Sottrai $18$ da $- 9$ .

$f (3) = 0 \cdot - 27$

Passaggio 3.1.2.3.3

Moltiplica $0$ per $- 27$ .

$f (3) = 0$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $3$ in $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$ è $(3, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3, 0)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.9$ nell'espressione.

$f'' (2.9) = 6 (2.9) - 18$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $6$ per $2.9$ .

$f'' (2.9) = 17.4 - 18$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $18$ da $17.4$ .

$f'' (2.9) = - 0.6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.6$ .

$- 0.6$

Passaggio 5.3

Per $2.9$ , la derivata seconda è $- 0.6$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.1$ nell'espressione.

$f'' (3.1) = 6 (3.1) - 18$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $6$ per $3.1$ .

$f'' (3.1) = 18.6 - 18$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $18$ da $18.6$ .

$f'' (3.1) = 0.6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.6$ .

$0.6$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $3.1$ , la derivata seconda è $0.6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(3, 0)$ .

$(3, 0)$

Passaggio 8