Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.5.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.7.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.7.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.8.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.2.2

Somma $- 4 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.2.3

Somma $- 4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.3

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Scomponi $2 x$ da $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $- x + 1$ e ${(x - 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.4.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.4.4

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.4.5

Scomponi $x - 1$ da $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5.4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.6.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.5.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.5.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.5.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica ${(x - 1)}^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.5.2

Scomponi ${(x - 1)}^{2}$ da ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Scomponi ${(x - 1)}^{2}$ da ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Scomponi ${(x - 1)}^{2}$ da $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Scomponi ${(x - 1)}^{2}$ da ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Passaggio 1.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi ${(x - 1)}^{2}$ da ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.10.3

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.10.4

$- 2$ e $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.2.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.3

Scomponi $2$ da $- 4 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.3.1

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.7

Riscrivi $- (2 x + 1)$ come $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.11.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Passaggio 1.2.11.10

Moltiplica $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x + 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x + 1) = 0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $2 x + 1$ per $1$ .

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 2.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.4.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.6

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 3.1.2.2.9

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Passaggio 3.1.2.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Passaggio 3.1.2.2.11

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Passaggio 3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

Passaggio 3.1.2.5

La risposta finale è $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ è $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.6$ nell'espressione.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.2

Somma $- 1.2$ e $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $1$ da $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2.2

Eleva $- 1.6$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 0.2$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $- 0.4$ per $6.5536$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- 0.06103515$ .

$- 0.06103515$

Passaggio 5.3

Per $- 0.6$ , la derivata seconda è $- 0.06103515$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{1}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.4$ nell'espressione.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $- 0.8$ e $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $1$ da $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

Passaggio 6.2.2.2

Eleva $- 1.4$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0.2$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $0.4$ per $3.8416$ .

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $0.10412328$ .

$0.10412328$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.4$ , la derivata seconda è $0.10412328$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{1}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Passaggio 8