Calcolo Esempi

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(x - 5)}^{2}$ come $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(x - 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $5 x$ da $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ e $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Passaggio 1.1.5.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Passaggio 1.1.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Passaggio 1.1.5.4.2

Moltiplica $x^{2} - 10 x + 25$ per $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Passaggio 1.1.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 10 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.5.7

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.5.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.5.9

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.5.10

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

Passaggio 1.1.5.11

Somma $2 x - 10$ e $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.4.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.4.6

Sposta $- 10$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

Passaggio 1.1.6.4.7

Moltiplica $- 2$ per $- 10$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

Passaggio 1.1.6.4.8

Sottrai $10 x$ da $- 4 x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

Passaggio 1.1.6.4.9

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

Passaggio 1.1.6.4.10

Sottrai $14 x$ da $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

Passaggio 1.1.6.4.11

Somma $25$ e $20$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 24 x + 45$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $45$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $45$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x - 24 + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $6 x - 24$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 x - 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $24$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = 24$

Passaggio 2.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 24$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 24$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $24$ per $6$ .

$x = 4$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $4$ in $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sottrai $5$ da $4$ .

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

Passaggio 3.1.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $(4) - 2$ per $1$ .

$f (4) = (4) - 2$

Passaggio 3.1.2.4

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (4) = 2$

Passaggio 3.1.2.5

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $4$ in $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ è $(4, 2)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4, 2)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.9$ nell'espressione.

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $6$ per $3.9$ .

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $24$ da $23.4$ .

$f'' (3.9) = - 0.6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.6$ .

$- 0.6$

Passaggio 5.3

Per $3.9$ , la derivata seconda è $- 0.6$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, 4)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.1$ nell'espressione.

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $6$ per $4.1$ .

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $24$ da $24.6$ .

$f'' (4.1) = 0.6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.6$ .

$0.6$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $4.1$ , la derivata seconda è $0.6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(4, \infty)$ .

Crescente su $(4, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Passaggio 8