Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- 1})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ come ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.2.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + 0$

Passaggio 1.2.4.7.2

Somma $2 {(x + 3)}^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 1.2.5.2

$2$ e $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso