Calcolo Esempi

$x e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $x e^{x}$ come funzione.

$f (x) = x e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 2.2.4.2

Riordina i termini.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Passaggio 2.2.4.3

Riordina i fattori in $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (x + 2) = 0$ vera.

$x = - 2$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = x e^{x}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = x e^{x}$ è $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Passaggio 6.2.1.2

$- 2.1$ e $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Passaggio 6.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

Passaggio 6.2.1.6

Dividi $2.1$ per $8.16616991$ .

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.25715849$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Passaggio 6.2.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

Passaggio 6.2.1.9

$2$ e $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 0.25715849$ e $\frac{2}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.01224564$ .

$- 0.01224564$

Passaggio 6.3

Per $- 2.1$ , la derivata seconda è $- 0.01224564$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.9$ nell'espressione.

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Passaggio 7.2.1.2

$- 1.9$ e $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Passaggio 7.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Passaggio 7.2.1.4

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.9$ .

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

Passaggio 7.2.1.6

Dividi $1.9$ per $6.68589444$ .

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.28418037$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Passaggio 7.2.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

Passaggio 7.2.1.9

$2$ e $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 0.28418037$ e $\frac{2}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.01495686$ .

$0.01495686$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 1.9$ , la derivata seconda è $0.01495686$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 2, \infty)$ .

Crescente su $(- 2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Passaggio 9