Calcolo Esempi

$1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - x^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - x^{- 2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0$

Passaggio 2.1.3.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.1

Sottrai $\frac{1}{x^{2}}$ da $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.3.2

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 2.2.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 2.2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 2.2.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 2.2.3.8

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$2 x^{- 3} - 6 x^{- 4}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3.2

$- 6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, x^{4}, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $x^{3}, x^{4}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{3}, x^{4}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 3.2.6

I fattori di $x^{3}$ sono $x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $3$ volte.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $3$ volte.

Passaggio 3.2.7

I fattori di $x^{4}$ sono $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $4$ volte.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $4$ volte.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{3}, x^{4}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Passaggio 3.2.9

Semplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Passaggio 3.2.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Passaggio 3.2.9.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Passaggio 3.2.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Passaggio 3.2.9.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Passaggio 3.2.9.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1}$

Passaggio 3.2.9.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $x^{4}$ ciascun termine in $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ per $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{4} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{6}{x^{4}}$ nel numeratore.

$2 x + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x - 6 = 0 x^{4}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{4}$ .

$2 x - 6 = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 6$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 6$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $6$ per $2$ .

$x = 3$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3$ in $f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (3) = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (3) = \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9}$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9}$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{3}{9} - \frac{1}{9}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{9 + 3 - 1}{9}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $9$ e $3$ .

$f (3) = \frac{12 - 1}{9}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Sottrai $1$ da $12$ .

$f (3) = \frac{11}{9}$

Passaggio 4.1.2.5

La risposta finale è $\frac{11}{9}$ .

$\frac{11}{9}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $3$ in $f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ è $(3, \frac{11}{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3, \frac{11}{9})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.9$ nell'espressione.

$f'' (2.9) = \frac{2}{{(2.9)}^{3}} - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $2.9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2.9) = \frac{2}{24.389} - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $2$ per $24.389$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2.9$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - \frac{6}{70.7281}$

Passaggio 6.2.1.4

Dividi $6$ per $70.7281$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - 1 \cdot 0.08483191$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0.08483191$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - 0.08483191$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.08483191$ da $0.08200418$ .

$f'' (2.9) = - 0.00282773$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.00282773$ .

$- 0.00282773$

Passaggio 6.3

Per $2.9$ , la derivata seconda è $- 0.00282773$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.1$ nell'espressione.

$f'' (3.1) = \frac{2}{{(3.1)}^{3}} - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3.1) = \frac{2}{29.791} - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $2$ per $29.791$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $3.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - \frac{6}{92.3521}$

Passaggio 7.2.1.4

Dividi $6$ per $92.3521$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - 1 \cdot 0.06496874$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0.06496874$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - 0.06496874$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $0.06496874$ da $0.06713436$ .

$f'' (3.1) = 0.00216562$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.00216562$ .

$0.00216562$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $3.1$ , la derivata seconda è $0.00216562$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(3, \frac{11}{9})$ .

$(3, \frac{11}{9})$

Passaggio 9