Calcolo Esempi

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.5

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.2.6

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ e $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.5

Moltiplica $8$ per $20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.7

Moltiplica $16$ per $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.8

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.9

Moltiplica $32$ per $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.1

Moltiplica $12$ per $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.4.2

Moltiplica $60$ per $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.4.3

Moltiplica $160$ per $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.4.4

Moltiplica $240$ per $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.4.5

Moltiplica $192$ per $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.4.6

Moltiplica $7$ per $64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $7$ da $448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Passaggio 2.3

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = - 3, - 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Somma $- 4$ e $2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $7$ per $64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $7$ da $448$ .

$h' (- 4) = 441$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $441$ .

$441$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 4$ la derivata è $441$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 3)$ .

Crescente su $(- \infty, - 3)$ perché $h' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Passaggio 6.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $7$ per $0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $7$ da $0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 7$ .

$- 7$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- 7$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 3, - 1)$ .

Decrescente su $(- 3, - 1)$ perché $h' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $0$ e $2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $7$ per $64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $7$ da $448$ .

$h' (0) = 441$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $441$ .

$441$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $441$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, \infty)$ .

Crescente su $(- 1, \infty)$ perché $h' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Decrescente su: $(- 3, - 1)$

Passaggio 9