Calcolo Esempi

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ per $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - x^{2}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.5.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1, - 1$ .

$1, - 1$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 6.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Passaggio 6.2.4

Somma $- 1$ e $4$ .

$f' (- 2) = \frac{3}{4}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $\frac{3}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Passaggio 7.2.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Passaggio 7.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})} + 1$

Passaggio 7.2.1.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{2^{2}})} + 1$

Passaggio 7.2.1.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{4})} + 1$

Passaggio 7.2.1.1.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- (1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Passaggio 7.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 0)$ .

Decrescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1^{2}}{2^{2}}} + 1$

Passaggio 8.2.1.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{2^{2}}} + 1$

Passaggio 8.2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- (1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Passaggio 8.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 3$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 1)$ .

Decrescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - \frac{1}{{(2)}^{2}} + 1$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 9.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 9.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Passaggio 9.2.2.3

Somma $- 1$ e $4$ .

$f' (2) = \frac{3}{4}$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $\frac{3}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decrescente su: $(- 1, 0), (0, 1)$

Passaggio 11