Calcolo Esempi

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 + x$ e $g (x) = 3 - x$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $3 - x$ per $1$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10.2

Moltiplica $2 + x$ per $1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.12

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.12.1

Moltiplica $2 + x$ per $1$ .

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.12.2

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.12.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.12.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.12.4.1

Somma $0$ e $5$ .

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.12.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 = 0$

Passaggio 3.3

Poiché $5 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 3)$ .

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $- (x - 3)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.2

Dividi per ${(- 1)}^{2}$ ciascun termine in ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per ${(- 1)}^{2}$ ciascun termine in ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi ${(x - 3)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

Passaggio 5.2.2.3.2

Dividi $0$ per $1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.3

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.2.4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (2) = 5$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $5$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 3)$ .

Crescente su $(- \infty, 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Somma $- 4$ e $3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (4) = 5$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $5$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Passaggio 10