Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{1}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 3.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{1}{x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 8.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - 1$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Passaggio 10