Calcolo Esempi

$y = 2 - 2 x - x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 - 2 x - x^{3}$ come funzione.

$f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 2 x - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - 2 - (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 2 - 3 x^{2}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2 - 3 x^{2}$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} - 2$ .

$- 3 x^{2} - 2$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} - 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} = 2$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = 2$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{- 3}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{3}}$

Passaggio 3.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 3.5.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.5.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.5.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.5.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.5.5.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.5.5.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.5.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 3.5.7

$i$ e $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}, - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Nessun punto rende la derivata $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 2$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (1) = - 3 - 2$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$f' (1) = - 5$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 7

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ è $- 5$ , che è negativo; quindi, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Decrescente su $(- \infty, \infty)$

Passaggio 8

Decrescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre decrescente.

Sempre decrescente

Passaggio 9