Calcolo Esempi

$y = - x^{2} + 8 x + 9$

Passaggio 1

Scrivi $y = - x^{2} + 8 x + 9$ come funzione.

$f (x) = - x^{2} + 8 x + 9$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 8 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$- 2 x + 8 + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x + 8 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $- 2 x + 8$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x + 8$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + 8$ .

$- 2 x + 8$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + 8 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + 8 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 8$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 8$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $- 8$ per $- 2$ .

$x = 4$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $4$ .

$4$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 2 x + 8$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = - x^{2} + 8 x + 9$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - 2 \cdot 3 + 8$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f' (3) = - 6 + 8$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 6$ e $8$ .

$f' (3) = 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 4)$ .

Crescente su $(- \infty, 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - 2 \cdot 5 + 8$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$f' (5) = - 10 + 8$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 10$ e $8$ .

$f' (5) = - 2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- 2$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 4)$

Decrescente su: $(4, \infty)$

Passaggio 9