Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ come funzione.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 6 x + 6$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $3$ da $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Passaggio 3.2.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Passaggio 3.2.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Passaggio 3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x^{2} - 2 x + 2$ per $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Passaggio 3.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + i, 1 - i$

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Nessun punto rende la derivata $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $6$ da $3$ .

$f' (1) = - 3 + 6$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 3$ e $6$ .

$f' (1) = 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 7

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ è $3$ , che è positivo; quindi, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Crescente su $(- \infty, \infty)$ perché $3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$

Passaggio 8

Crescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre crescente.

Sempre crescente

Passaggio 9