Calcolo Esempi

$x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$

Passaggio 1

Scrivi

$x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$ come funzione.

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e

$g (x) = x + 6$ .

$x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x + 6$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$x^{\frac{1}{5}} (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché

$6$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$6$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$x^{\frac{1}{5}} (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma

$1$ e

$0$ .

$x^{\frac{1}{5}} \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica

$x^{\frac{1}{5}}$ per

$1$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = \frac{1}{5}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Passaggio 2.1.3

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 2.1.4

$- 1$ e

$\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica

$- 1$ per

$5$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai

$5$ da

$1$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Passaggio 2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Passaggio 2.1.8

$\frac{1}{5}$ e

$x^{- \frac{4}{5}}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Passaggio 2.1.9

Sposta

$x^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + (x + 6) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{5}} + x \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.1

$x$ e

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.2

Sposta

$x^{\frac{4}{5}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo

$\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3

Moltiplica

$x$ per

$x^{- \frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.3.1

Moltiplica

$x$ per

$x^{- \frac{4}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.3.1.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.1.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{1 - \frac{4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.2

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{5 - 4}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.4

Sottrai

$4$ da

$5$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + 6 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.4

$6$ e

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$x^{\frac{1}{5}} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.5

Per scrivere

$x^{\frac{1}{5}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.6

$x^{\frac{1}{5}}$ e

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.8

Sposta

$5$ alla sinistra di

$x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.1.10.2.9

Somma

$5 x^{\frac{1}{5}}$ e

$x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5} + \frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché

$\frac{6}{5}$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.4

$- 1$ e

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Moltiplica

$- 1$ per

$5$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Sottrai

$5$ da

$1$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.8

$\frac{1}{5}$ e

$x^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.9

Moltiplica

$\frac{6}{5}$ per

$\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{4}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.10

Moltiplica

$5$ per

$5$ .

$\frac{6 x^{- \frac{4}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.2.11

Sposta

$x^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché

$\frac{6}{5}$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$\frac{6}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi

$\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ come

${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = x^{- 1}$ e

$g (x) = x^{\frac{4}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}])$

Passaggio 2.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è

$n u^{n - 1}$ dove

$n = - 1$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}])$

Passaggio 2.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}])$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in

${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{\frac{4}{5} \cdot - 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica

$\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.2.1

$\frac{4}{5}$ e

$- 2$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.2.2

Moltiplica

$4$ per

$- 2$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{\frac{- 8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.6

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Passaggio 2.2.3.7

$- 1$ e

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Passaggio 2.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Passaggio 2.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.9.1

Moltiplica

$- 1$ per

$5$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}))$

Passaggio 2.2.3.9.2

Sottrai

$5$ da

$4$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}))$

Passaggio 2.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}))$

Passaggio 2.2.3.11

$\frac{4}{5}$ e

$x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- x^{- \frac{8}{5}} \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2.3.12

$\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ e

$x^{- \frac{8}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} x^{- \frac{8}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2.3.13

Moltiplica

$x^{- \frac{1}{5}}$ per

$x^{- \frac{8}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.13.1

Sposta

$x^{- \frac{8}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} x^{- \frac{1}{5}})}{5})$

Passaggio 2.2.3.13.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{5} - \frac{1}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 - 1}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2.3.13.4

Sottrai

$1$ da

$- 8$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{\frac{- 9}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4 x^{- \frac{9}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2.3.14

Sposta

$x^{- \frac{9}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{6}{5} (- \frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}})$

Passaggio 2.2.3.15

Moltiplica

$\frac{6}{5}$ per

$\frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{6 \cdot 4}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Passaggio 2.2.3.16

Moltiplica

$6$ per

$4$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Passaggio 2.2.3.17

Moltiplica

$5$ per

$5$ .

$f'' (x) = \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a

$0$ , quindi risolvi l'equazione

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a

$0$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché

$25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica

$25, 25, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile

$x^{\frac{4}{5}}, x^{\frac{9}{5}}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

$25$ presenta fattori di

$5$ e

$5$ .

$5 \cdot 5$

Passaggio 3.2.5

Il numero

$1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.6

Il minimo comune multiplo di

$25, 25, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$5 \cdot 5$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica

$5$ per

$5$ .

$25$

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di

$x^{\frac{4}{5}}, x^{\frac{9}{5}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo di

$25 x^{\frac{4}{5}}, 25 x^{\frac{9}{5}}, 1$ è la parte numerica

$25$ moltiplicata per la parte variabile.

$25 x^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per

$25 x^{\frac{9}{5}}$ ciascun termine in

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} = 0$ per

$25 x^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$25 \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di

$25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$25 \frac{6}{25 x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} x^{\frac{9}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di

$x^{\frac{4}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Scomponi

$x^{\frac{4}{5}}$ da

$x^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} (x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{5}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{x^{\frac{4}{5}}} (x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{5}{5}}) - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x^{\frac{5}{5}} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.4

Dividi

$5$ per

$5$ .

$6 x^{1} - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.5

Semplifica.

$6 x - \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di

$25 x^{\frac{9}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{24}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ nel numeratore.

$6 x + \frac{- 24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$6 x + \frac{- 24}{25 x^{\frac{9}{5}}} (25 x^{\frac{9}{5}}) = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x - 24 = 0 (25 x^{\frac{9}{5}})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica

$0 (25 x^{\frac{9}{5}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica

$25$ per

$0$ .

$6 x - 24 = 0 x^{\frac{9}{5}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica

$0$ per

$x^{\frac{9}{5}}$ .

$6 x - 24 = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma

$24$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = 24$

Passaggio 3.4.2

Dividi per

$6$ ciascun termine in

$6 x = 24$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per

$6$ ciascun termine in

$6 x = 24$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi

$24$ per

$6$ .

$x = 4$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci

$4$ in

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$ per trovare il valore di

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$4$ nell'espressione.

$f (4) = {(4)}^{\frac{1}{5}} ((4) + 6)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Somma

$4$ e

$6$ .

$f (4) = 4^{\frac{1}{5}} \cdot 10$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta

$10$ alla sinistra di

$4^{\frac{1}{5}}$ .

$f (4) = 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è

$10 \cdot 4^{\frac{1}{5}}$ .

$10 \cdot 4^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo

$4$ in

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} (x + 6)$ è

$(4, 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4, 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5

Dividi

$(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(- \infty, 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3.9$ nell'espressione.

$f'' (3.9) = \frac{6}{25 {(3.9)}^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 {(3.9)}^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $3.9$ alla potenza di $\frac{4}{5}$ .

$f'' (3.9) = \frac{6}{25 \cdot 2.97065136} - \frac{24}{25 {(3.9)}^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $25$ per $2.97065136$ .

$f'' (3.9) = \frac{6}{74.26628404} - \frac{24}{25 {(3.9)}^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $6$ per $74.26628404$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - \frac{24}{25 {(3.9)}^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $3.9$ alla potenza di $\frac{9}{5}$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - \frac{24}{25 \cdot 11.58554031}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $25$ per $11.58554031$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - \frac{24}{289.63850777}$

Passaggio 6.2.1.6

Dividi $24$ per $289.63850777$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - 1 \cdot 0.08286191$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.08286191$ .

$f'' (3.9) = 0.08079036 - 0.08286191$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.08286191$ da $0.08079036$ .

$f'' (3.9) = - 0.00207154$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.00207154$ .

$- 0.00207154$

Passaggio 6.3

Per $3.9$ , la derivata seconda è $- 0.00207154$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, 4)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.1$ nell'espressione.

$f'' (4.1) = \frac{6}{25 {(4.1)}^{\frac{4}{5}}} - \frac{24}{25 {(4.1)}^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4.1$ alla potenza di $\frac{4}{5}$ .

$f'' (4.1) = \frac{6}{25 \cdot 3.09191171} - \frac{24}{25 {(4.1)}^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $25$ per $3.09191171$ .

$f'' (4.1) = \frac{6}{77.29779298} - \frac{24}{25 {(4.1)}^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $6$ per $77.29779298$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - \frac{24}{25 {(4.1)}^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $4.1$ alla potenza di $\frac{9}{5}$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - \frac{24}{25 \cdot 12.67683804}$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $25$ per $12.67683804$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - \frac{24}{316.92095122}$

Passaggio 7.2.1.6

Dividi $24$ per $316.92095122$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - 1 \cdot 0.07572866$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.07572866$ .

$f'' (4.1) = 0.07762187 - 0.07572866$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $0.07572866$ da $0.07762187$ .

$f'' (4.1) = 0.00189321$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.00189321$ .

$0.00189321$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $4.1$ , la derivata seconda è $0.00189321$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(4, \infty)$ .

Crescente su $(4, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(4, 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}})$ .

$(4, 10 \cdot 4^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 9