Calcolo Esempi

$e^{- x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{- x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 2.1.3.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.8.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $e^{- x^{2}}$ per $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.3

Riordina i termini.

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.4

Riordina i fattori in $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $2 e^{- x^{2}}$ da $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2 e^{- x^{2}}$ da $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $2 e^{- x^{2}}$ da $- 2 e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $2 e^{- x^{2}}$ da $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $e^{- x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $e^{- x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $e^{- x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

Imposta $2 x^{2} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $2 x^{2} - 1$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $2 x^{2} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = e^{- x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{2}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Passaggio 4.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = e^{- x^{2}}$ è $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = e^{- x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Passaggio 4.3.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 4.3.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.2.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.2.8

La risposta finale è $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = e^{- x^{2}}$ è $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.80710678$ nell'espressione.

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.80710678$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.80710678$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6

$2.60568542$ e $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.9

Dividi $2.60568542$ per $1.91826543$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $- 0.80710678$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Passaggio 6.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Passaggio 6.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Passaggio 6.2.1.13

$- 2$ e $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Passaggio 6.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ da $1.35835499$ .

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.31574641$ .

$0.31574641$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.80710678$ , la derivata seconda è $0.31574641$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

Passaggio 7.2.1.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f'' (0) = - 2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 7.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 2$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decrescente su $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.80710678$ nell'espressione.

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.80710678$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.80710678$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.6

$2.60568542$ e $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.9

Dividi $2.60568542$ per $1.91826543$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.10

Eleva $0.80710678$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Passaggio 8.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Passaggio 8.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Passaggio 8.2.1.13

$- 2$ e $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Passaggio 8.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ da $1.35835499$ .

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.31574641$ .

$0.31574641$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.80710678$ , la derivata seconda è $0.31574641$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 10