Calcolo Esempi

$\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ come funzione.

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.3

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.5

$\frac{6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Scomponi $3$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.2.6.2.4

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $2 x^{2} - 2 x + 12$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x + 12$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 2 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x - 2 + 0$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $4 x - 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 x - 2$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x - 2$ .

$4 x - 2$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $4 x - 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$4 x - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 2$

Passaggio 3.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 2$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{4}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{1}{2}$ in $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.2

Combina.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $2^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1^{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (1^{3})}{3 \cdot 2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $3 \cdot 2^{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (1^{3})}{2 (3 \cdot 2^{2})} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 1^{3}}{2 (3 \cdot 2^{2})} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{3}}{3 \cdot 2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3 \cdot 2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3 \cdot 4} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2^{2}} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.10.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 2 (6) (\frac{1}{2}) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{1}{2})) + 20$

Passaggio 4.1.2.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 6 + 20$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}) + 6 + 20$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 6 + 20$

Passaggio 4.1.2.2.3

Scrivi $6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6}{1} + 20$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{12}{12} + 20$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + 20$

Passaggio 4.1.2.2.6

Scrivi $20$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Moltiplica $\frac{20}{1}$ per $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{20}{1}$ per $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Riordina i fattori di $4 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.1.2.2.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{12} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 6 \cdot 12 + 20 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $6$ per $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 72 + 20 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $20$ per $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 72 + 240}{12}$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 + 72 + 240}{12}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.2.1

Somma $- 2$ e $72$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{70 + 240}{12}$

Passaggio 4.1.2.5.2.2

Somma $70$ e $240$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{310}{12}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Elimina il fattore comune di $310$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.3.1

Scomponi $2$ da $310$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (155)}{12}$

Passaggio 4.1.2.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 155}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.1.2.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 155}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.1.2.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{155}{6}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $\frac{155}{6}$ .

$\frac{155}{6}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{1}{2}$ in $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ è $(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.4$ nell'espressione.

$f'' (0.4) = 4 (0.4) - 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $4$ per $0.4$ .

$f'' (0.4) = 1.6 - 2$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2$ da $1.6$ .

$f'' (0.4) = - 0.4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.4$ .

$- 0.4$

Passaggio 6.3

Per $0.4$ , la derivata seconda è $- 0.4$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{1}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.6$ nell'espressione.

$f'' (0.6) = 4 (0.6) - 2$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $4$ per $0.6$ .

$f'' (0.6) = 2.4 - 2$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $2$ da $2.4$ .

$f'' (0.6) = 0.4$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.4$ .

$0.4$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.6$ , la derivata seconda è $0.4$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{1}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$

Passaggio 9