Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (28 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (28 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (28 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28 x^{3}$ rispetto a $x$ è $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $28$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 28 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 28 x$ rispetto a $x$ è $- 28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 28$ per $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28 + \frac{d}{d x} (13)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $- 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 84 x^{2} - 28$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (84 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (84 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (84 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (84 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [84 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $84$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $84 x^{2}$ rispetto a $x$ è $84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 84 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 28)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $84$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 168 x + \frac{d}{d x} (- 28)$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- 28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 28$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 168 x + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $- 12 x^{2} + 168 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 168 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{2} + 168 x$ .

$- 12 x^{2} + 168 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 12 x^{2} + 168 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 12 x^{2} + 168 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x^{2} + 168 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 168 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $- 12 x$ da $168 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 14 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x (x) - 12 x (- 14)$ .

$- 12 x (x - 14) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 14 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 14$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 14$ uguale a $0$ .

$x - 14 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $14$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 14$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 x (x - 14) = 0$ vera.

$x = 0, 14$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 28 {(0)}^{3} - 28 \cdot 0 + 13$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 0 + 28 {(0)}^{3} - 28 \cdot 0 + 13$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 28 {(0)}^{3} - 28 \cdot 0 + 13$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 28 \cdot 0 - 28 \cdot 0 + 13$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $28$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 28 \cdot 0 + 13$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica $- 28$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

Passaggio 3.1.2.2.3

Somma $0$ e $13$ .

$f (0) = 13$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $13$ .

$13$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ è $(0, 13)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 13)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $14$ in $f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $14$ nell'espressione.

$f (14) = - {(14)}^{4} + 28 {(14)}^{3} - 28 \cdot 14 + 13$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $14$ alla potenza di $4$ .

$f (14) = - 1 \cdot 38416 + 28 {(14)}^{3} - 28 \cdot 14 + 13$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $38416$ .

$f (14) = - 38416 + 28 {(14)}^{3} - 28 \cdot 14 + 13$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $14$ alla potenza di $3$ .

$f (14) = - 38416 + 28 \cdot 2744 - 28 \cdot 14 + 13$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $28$ per $2744$ .

$f (14) = - 38416 + 76832 - 28 \cdot 14 + 13$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $- 28$ per $14$ .

$f (14) = - 38416 + 76832 - 392 + 13$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Somma $- 38416$ e $76832$ .

$f (14) = 38416 - 392 + 13$

Passaggio 3.3.2.2.2

Sottrai $392$ da $38416$ .

$f (14) = 38024 + 13$

Passaggio 3.3.2.2.3

Somma $38024$ e $13$ .

$f (14) = 38037$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $38037$ .

$38037$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $14$ in $f (x) = - x^{4} + 28 x^{3} - 28 x + 13$ è $(14, 38037)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(14, 38037)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 13), (14, 38037)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, 14) \cup (14, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 168 (- 0.1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 168 (- 0.1)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 168 (- 0.1)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $168$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 16.8$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $16.8$ da $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 16.92$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 16.92$ .

$- 16.92$

Passaggio 5.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 16.92$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 14)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f'' (7) = - 12 {(7)}^{2} + 168 (7)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7) = - 12 \cdot 49 + 168 (7)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $49$ .

$f'' (7) = - 588 + 168 (7)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $168$ per $7$ .

$f'' (7) = - 588 + 1176$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 588$ e $1176$ .

$f'' (7) = 588$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $588$ .

$588$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $7$ , la derivata seconda è $588$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, 14)$ .

Crescente su $(0, 14)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(14, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $14.1$ nell'espressione.

$f'' (14.1) = - 12 {(14.1)}^{2} + 168 (14.1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $14.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (14.1) = - 12 \cdot 198.81 + 168 (14.1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $198.81$ .

$f'' (14.1) = - 2385.72 + 168 (14.1)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $168$ per $14.1$ .

$f'' (14.1) = - 2385.72 + 2368.8$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 2385.72$ e $2368.8$ .

$f'' (14.1) = - 16.92$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 16.92$ .

$- 16.92$

Passaggio 7.3

Per $14.1$ , la derivata seconda è $- 16.92$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(14, \infty)$ .

Decrescente su $(14, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (14, 38037)$ .

$(0, 13), (14, 38037)$

Passaggio 9