Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 6 x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- 4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $- 4 x^{3} + 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 x^{2} + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{2} + 12$ .

$- 12 x^{2} + 12$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 12 x^{2} + 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 12 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 12 x^{2} = - 12$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 12$ ciascun termine in $- 12 x^{2} = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 12$ ciascun termine in $- 12 x^{2} = - 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 12$ per $- 12$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - {(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 4$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

Passaggio 3.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 - 4$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (1) = 5 - 4$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ è $(1, 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, 1)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Passaggio 3.3.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 - 4$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (- 1) = 5 - 4$

Passaggio 3.3.2.2.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$f (- 1) = 1$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ è $(- 1, 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, 1)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, 1), (- 1, 1)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = - 12 {(- 1.1)}^{2} + 12$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 14.52 + 12$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 14.52$ e $12$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.52$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 2.52$ .

$- 2.52$

Passaggio 5.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 2.52$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 12$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 12$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$f'' (0) = 12$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $12$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, 1)$ .

Crescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = - 12 {(1.1)}^{2} + 12$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 14.52 + 12$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 14.52$ e $12$ .

$f'' (1.1) = - 2.52$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 2.52$ .

$- 2.52$

Passaggio 7.3

Per $1.1$ , la derivata seconda è $- 2.52$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 1, 1), (1, 1)$ .

$(- 1, 1), (1, 1)$

Passaggio 9