Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ come ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 9 x^{2} + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x^{2} + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x^{2} + 18$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.1.9

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.1.11

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x + \frac{d}{d x} [18])$

Passaggio 1.1.12

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x + 0)$

Passaggio 1.1.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} (18 x)$

Passaggio 1.1.13.2

$18$ e $\frac{1}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{18}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}} x$

Passaggio 1.1.13.3

$\frac{18}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{18 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.13.4

Scomponi $3$ da $18 x$ .

$\frac{3 (6 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.14.1

Scomponi $3$ da $3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (6 x)}{3 ({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 1.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (6 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{6 x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6 x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 9 x^{2} + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x^{2} + 18$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x^{2} + 18$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.9.2

$\frac{2}{3}$ e ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2 {(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.9.3

Sposta ${(9 x^{2} + 18)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.9.4

$\frac{2}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 18]}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.11

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.13

Moltiplica $2$ per $9$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x + \frac{d}{d x} [18])}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.14

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x + 0)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.15.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} (18 x)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.15.2

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - 18 \frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.15.3

$- 18$ e $\frac{2 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 18 (2 x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.15.4

Moltiplica $2$ per $- 18$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} x}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.15.5

$\frac{- 36 x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x \cdot x}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 (x^{1} x)}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 (x^{1} x^{1})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x^{1 + 1}}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.19

Somma $1$ e $1$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 36 x^{2}}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.20

Scomponi $3$ da $- 36 x^{2}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.21

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.21.1

Scomponi $3$ da $3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 ({(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}})}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.21.2

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (- 12 x^{2})}{3 {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.21.3

Riscrivi l'espressione.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 \frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} - \frac{12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.23

Per scrivere ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.25

Moltiplica ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.25.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.25.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{2 + 1}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.25.3

Somma $2$ e $1$ .

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{3}{3}} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.25.4

Dividi $3$ per $3$ .

$6 \frac{\frac{{(9 x^{2} + 18)}^{1} - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.26

Semplifica ${(9 x^{2} + 18)}^{1}$ .

$6 \frac{\frac{9 x^{2} + 18 - 12 x^{2}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.27

Sottrai $12 x^{2}$ da $9 x^{2}$ .

$6 \frac{\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.28

Riscrivi $\frac{\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$ come un prodotto.

$6 (\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 1.2.29

Moltiplica $\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}} {(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.30

Moltiplica ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(9 x^{2} + 18)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.30.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.30.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{1 + 4}{3}}}$

Passaggio 1.2.30.3

Somma $1$ e $4$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.31

$6$ e $\frac{- 3 x^{2} + 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 18)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.32.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.32.2.1

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 18}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.2.2

Moltiplica $6$ per $18$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 108}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.3

Scomponi $18$ da $- 18 x^{2} + 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.32.3.1

Scomponi $18$ da $- 18 x^{2}$ .

$\frac{18 (- x^{2}) + 108}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.3.2

Scomponi $18$ da $108$ .

$\frac{18 (- x^{2}) + 18 (6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.3.3

Scomponi $18$ da $18 (- x^{2}) + 18 (6)$ .

$\frac{18 (- x^{2} + 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{18 (- (x^{2}) + 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.5

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{18 (- (x^{2}) - 1 (- 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{18 (- (x^{2} - 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.7

Riscrivi $- (x^{2} - 6)$ come $- 1 (x^{2} - 6)$ .

$\frac{18 (- 1 (x^{2} - 6))}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.32.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{18 (x^{2} - 6)}{{(9 x^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$18 (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $18$ ciascun termine in $18 (x^{2} - 6) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $18$ ciascun termine in $18 (x^{2} - 6) = 0$ .

$\frac{18 (x^{2} - 6)}{18} = \frac{0}{18}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18 (x^{2} - 6)}{18} = \frac{0}{18}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2} - 6$ per $1$ .

$x^{2} - 6 = \frac{0}{18}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $18$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 6$

Passaggio 2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{6}$

Passaggio 2.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{6}$

Passaggio 2.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{6}$

Passaggio 2.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\sqrt{6}$ in $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{6}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(\sqrt{6})}^{2} + 18}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 18}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 18}$

Passaggio 3.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Moltiplica $9$ per $6$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{54 + 18}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $54$ e $18$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{72}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi $72$ come $2^{3} \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Scomponi $8$ da $72$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{8 (9)}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (\sqrt{6}) = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 9}$

Passaggio 3.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\sqrt{6}) = 2 \sqrt[3]{9}$

Passaggio 3.1.2.5

La risposta finale è $2 \sqrt[3]{9}$ .

$2 \sqrt[3]{9}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\sqrt{6}$ in $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ è $(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- \sqrt{6}$ in $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{6}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(- \sqrt{6})}^{2} + 18}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + 18}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + 18}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{6}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {\sqrt{6}}^{2} + 18}$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 18}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 18}$

Passaggio 3.3.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 18}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{9 \cdot 6 + 18}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Moltiplica $9$ per $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{54 + 18}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Somma $54$ e $18$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{72}$

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi $72$ come $2^{3} \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Scomponi $8$ da $72$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{8 (9)}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 9}$

Passaggio 3.3.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \sqrt{6}) = 2 \sqrt[3]{9}$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $2 \sqrt[3]{9}$ .

$2 \sqrt[3]{9}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- \sqrt{6}$ in $f (x) = \sqrt[3]{9 x^{2} + 18}$ è $(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{6})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.54948974$ nell'espressione.

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 ({(- 2.54948974)}^{2} - 6)}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.54948974$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 (6.49989794 - 6)}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai $6$ da $6.49989794$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 {(- 2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Eleva $- 2.54948974$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot 6.49989794 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $9$ per $6.49989794$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(58.49908153 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $58.49908153$ e $18$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{76.49908153}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $76.49908153$ alla potenza di $\frac{5}{3}$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{1378.56432329}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $18$ per $0.49989794$ .

$f'' (- 2.54948974) = - \frac{8.99816307}{1378.56432329}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $8.99816307$ per $1378.56432329$ .

$f'' (- 2.54948974) = - 1 \cdot 0.00652719$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0.00652719$ .

$f'' (- 2.54948974) = - 0.00652719$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- 0.00652719$ .

$- 0.00652719$

Passaggio 5.3

Per $- 2.54948974$ , la derivata seconda è $- 0.00652719$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \sqrt{6})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{18 ({(0)}^{2} - 6)}{{(9 {(0)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 (0 - 6)}{{(9 \cdot 0^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(9 \cdot 0^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(9 \cdot 0 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{{(0 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $18$ .

$f'' (0) = - \frac{18 \cdot - 6}{18^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $18$ per $- 6$ .

$f'' (0) = - \frac{- 108}{18^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = \frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{108}{18^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $0.87358046$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ .

Crescente su $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt{6}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.54948974$ nell'espressione.

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 ({(2.54948974)}^{2} - 6)}{{(9 {(2.54948974)}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.54948974$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 (6.49989794 - 6)}{{(9 \cdot {2.54948974}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $6$ da $6.49989794$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot {2.54948974}^{2} + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Eleva $2.54948974$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(9 \cdot 6.49989794 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $9$ per $6.49989794$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{(58.49908153 + 18)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $58.49908153$ e $18$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{{76.49908153}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $76.49908153$ alla potenza di $\frac{5}{3}$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{18 \cdot 0.49989794}{1378.56432329}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $18$ per $0.49989794$ .

$f'' (2.54948974) = - \frac{8.99816307}{1378.56432329}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $8.99816307$ per $1378.56432329$ .

$f'' (2.54948974) = - 1 \cdot 0.00652719$

Passaggio 7.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0.00652719$ .

$f'' (2.54948974) = - 0.00652719$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 0.00652719$ .

$- 0.00652719$

Passaggio 7.3

Per $2.54948974$ , la derivata seconda è $- 0.00652719$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\sqrt{6}, \infty)$ .

Decrescente su $(\sqrt{6}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$ .

$(- \sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9}), (\sqrt{6}, 2 \sqrt[3]{9})$

Passaggio 9