Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 252 x$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 3 x^{2} - 252 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 252 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 252 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 252 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 252 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 252 x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 252 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 252 x)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 252$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 252 x$ rispetto a $x$ è $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 252 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 252 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 252$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 252$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + 6 x - 252$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 252]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 252)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 252)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 252)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 252)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 252)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 252)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 252)$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- 252$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 252$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $12 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x + 6$ .

$12 x + 6$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x + 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x + 6 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x = - 6$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = - 6$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{12}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 252 x$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.5.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 (4)}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.9

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2^{2}}) - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.12

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 252 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.13.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 252 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.13.2

Scomponi $2$ da $- 252$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 (- 126) (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.13.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 126 (\frac{- 1}{2}))$

Passaggio 3.1.2.1.13.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 126 \cdot - 1$

Passaggio 3.1.2.1.14

Moltiplica $- 126$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 126$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2}) = 126 + \frac{- 1 + 3}{4}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 126 + \frac{2}{4}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 126 + \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 126 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = 126 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = 126 + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.1.2.3

Per scrivere $126$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 126 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.1.2.4

$126$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{126 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{126 \cdot 2 + 1}{2}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Moltiplica $126$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{252 + 1}{2}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Somma $252$ e $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{253}{2}$

Passaggio 3.1.2.7

La risposta finale è $\frac{253}{2}$ .

$\frac{253}{2}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 252 x$ è $(- \frac{1}{2}, \frac{253}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{1}{2}, \frac{253}{2})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.6$ nell'espressione.

$f'' (- 0.6) = 12 (- 0.6) + 6$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $12$ per $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = - 7.2 + 6$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 7.2$ e $6$ .

$f'' (- 0.6) = - 1.2$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 1.2$ .

$- 1.2$

Passaggio 5.3

Per $- 0.6$ , la derivata seconda è $- 1.2$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{1}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.4$ nell'espressione.

$f'' (- 0.4) = 12 (- 0.4) + 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $12$ per $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = - 4.8 + 6$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 4.8$ e $6$ .

$f'' (- 0.4) = 1.2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $1.2$ .

$1.2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.4$ , la derivata seconda è $1.2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{1}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- \frac{1}{2}, \frac{253}{2})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{253}{2})$

Passaggio 8