Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $6 x^{2} - 6 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 6 x - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $12 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x - 6$ .

$12 x - 6$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x - 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x - 6 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x = 6$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 6$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$x = \frac{6 (1)}{12}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{1}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 5$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (4)}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 4}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{2}} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.8

$- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.10.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 (- 6) (\frac{1}{2}) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2})) + 5$

Passaggio 3.1.2.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 6 + 5$

Passaggio 3.1.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = - 6 + 5 + \frac{1 - 3}{4}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 6 + 5 + \frac{- 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Scrivi $- 6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6}{1} + 5 + \frac{- 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 5 + \frac{- 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.3.3

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 5 + \frac{- 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.3.4

Scrivi $5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{5}{1} + \frac{- 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.3.5

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{5}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.3.6

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4 + 5 \cdot 4 - 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 24 + 5 \cdot 4 - 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 24 + 20 - 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Somma $- 24$ e $20$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 4 - 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6}{4}$

Passaggio 3.1.2.6.3

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.3.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (- 3)}{4}$

Passaggio 3.1.2.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.1.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{1}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 5$ è $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.4$ nell'espressione.

$f'' (0.4) = 12 (0.4) - 6$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $12$ per $0.4$ .

$f'' (0.4) = 4.8 - 6$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6$ da $4.8$ .

$f'' (0.4) = - 1.2$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 1.2$ .

$- 1.2$

Passaggio 5.3

Per $0.4$ , la derivata seconda è $- 1.2$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{1}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.6$ nell'espressione.

$f'' (0.6) = 12 (0.6) - 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $12$ per $0.6$ .

$f'' (0.6) = 7.2 - 6$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $6$ da $7.2$ .

$f'' (0.6) = 1.2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $1.2$ .

$1.2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0.6$ , la derivata seconda è $1.2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{1}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Passaggio 8