Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 18 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $12 x - 18$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x - 18$ .

$12 x - 18$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x - 18 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x - 18 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x = 18$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 18$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{18}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $18$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$x = \frac{6 (3)}{12}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{3}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{9}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{9}{4}) + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.8

Moltiplica $- 9 (\frac{9}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.1

$- 9$ e $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.8.2

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.10.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 (6) (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{3}{2}))$

Passaggio 3.1.2.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 6 \cdot 3$

Passaggio 3.1.2.1.11

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18$

Passaggio 3.1.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{27 - 81}{4}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $81$ da $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 54}{4}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 54$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 54$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 (- 27)}{4}$

Passaggio 3.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 27}{2}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3}{2}) = 18 - \frac{27}{2}$

Passaggio 3.1.2.4

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Passaggio 3.1.2.5

$18$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Passaggio 3.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Passaggio 3.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Moltiplica $18$ per $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{36 - 27}{2}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Sottrai $27$ da $36$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$

Passaggio 3.1.2.8

La risposta finale è $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{3}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ è $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{3}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.4$ nell'espressione.

$f'' (1.4) = 12 (1.4) - 18$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $12$ per $1.4$ .

$f'' (1.4) = 16.8 - 18$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $18$ da $16.8$ .

$f'' (1.4) = - 1.2$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 1.2$ .

$- 1.2$

Passaggio 5.3

Per $1.4$ , la derivata seconda è $- 1.2$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{3}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.6$ nell'espressione.

$f'' (1.6) = 12 (1.6) - 18$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $12$ per $1.6$ .

$f'' (1.6) = 19.2 - 18$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $18$ da $19.2$ .

$f'' (1.6) = 1.2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $1.2$ .

$1.2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $1.6$ , la derivata seconda è $1.2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{3}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Passaggio 8