Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x {(x - 4)}^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.4.6

Moltiplica ${(x - 4)}^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.3

Scomponi $2 {(x - 4)}^{2}$ da $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1

Scomponi $2 {(x - 4)}^{2}$ da $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Scomponi $2 {(x - 4)}^{2}$ da $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Passaggio 1.1.5.3.3

Scomponi $2 {(x - 4)}^{2}$ da $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Passaggio 1.1.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.5

Riscrivi ${(x - 4)}^{2}$ come $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.6

Espandi $(x - 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.7.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.7.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.7.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.9.1

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.9.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Passaggio 1.1.5.10

Espandi $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.4

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.7

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.8

Moltiplica $- 4$ per $- 16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.9

Moltiplica $4$ per $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.5.11.10

Moltiplica $32$ per $- 4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Passaggio 1.1.5.12

Sottrai $64 x^{2}$ da $- 8 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Passaggio 1.1.5.13

Somma $64 x$ e $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 72 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $192$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $192 x$ rispetto a $x$ è $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $192$ per $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Poiché $- 128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 128$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $24 x^{2} - 144 x + 192$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $24$ da $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $24$ da $24 x^{2}$ .

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $24$ da $- 144 x$ .

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $24$ da $192$ .

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $24$ da $24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ .

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $24$ da $24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ .

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x + 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 4, 2$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $4$ in $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (4) = 8 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (4) = 0$

Passaggio 3.1.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $4$ in $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ è $(4, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $2$ in $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 4 \cdot - 8$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f (2) = - 32$

Passaggio 3.3.2.5

La risposta finale è $- 32$ .

$- 32$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ è $(2, - 32)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, - 32)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(4, 0), (2, - 32)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.9$ nell'espressione.

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $1.9$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $24$ per $3.61$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 144$ per $1.9$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $273.6$ da $86.64$ .

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 186.96$ e $192$ .

$f'' (1.9) = 5.04$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $5.04$ .

$5.04$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $1.9$ , la derivata seconda è $5.04$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 2)$ .

Crescente su $(- \infty, 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $24$ per $9$ .

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 144$ per $3$ .

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $432$ da $216$ .

$f'' (3) = - 216 + 192$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 216$ e $192$ .

$f'' (3) = - 24$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 24$ .

$- 24$

Passaggio 6.3

Per $3$ , la derivata seconda è $- 24$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(2, 4)$ .

Decrescente su $(2, 4)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.1$ nell'espressione.

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $24$ per $16.81$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 144$ per $4.1$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $590.4$ da $403.44$ .

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 186.96$ e $192$ .

$f'' (4.1) = 5.04$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $5.04$ .

$5.04$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $4.1$ , la derivata seconda è $5.04$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(4, \infty)$ .

Crescente su $(4, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

Passaggio 9