Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 7 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{3})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 7 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 21 x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 21 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 21 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 21 (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 21$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 42 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 42 x$ .

$12 x^{2} - 42 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 42 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 42 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $6 x$ da $12 x^{2} - 42 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $6 x$ da $12 x^{2}$ .

$6 x (2 x) - 42 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $6 x$ da $- 42 x$ .

$6 x (2 x) + 6 x (- 7) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (2 x) + 6 x (- 7)$ .

$6 x (2 x - 7) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 7 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x - 7$ uguale a $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x - 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 7$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 7$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x (2 x - 7) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{7}{2}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4} - 7 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 7 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 7 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{7}{2}$ in $f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{4} - 7 {(\frac{7}{2})}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{7^{4}}{2^{4}} - 7 {(\frac{7}{2})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{2^{4}} - 7 {(\frac{7}{2})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - 7 {(\frac{7}{2})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - 7 \frac{7^{3}}{2^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - 7 \frac{343}{2^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - 7 (\frac{343}{8})$

Passaggio 3.3.2.1.7

Moltiplica $- 7 (\frac{343}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.1

$- 7$ e $\frac{343}{8}$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{- 7 \cdot 343}{8}$

Passaggio 3.3.2.1.7.2

Moltiplica $- 7$ per $343$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{- 2401}{8}$

Passaggio 3.3.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{8}$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $- \frac{2401}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{8} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{2401}{8}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401 \cdot 2}{8 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401 \cdot 2}{16}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401 - 2401 \cdot 2}{16}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $- 2401$ per $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{2401 - 4802}{16}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sottrai $4802$ da $2401$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 2401}{16}$

Passaggio 3.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{2401}{16}$

Passaggio 3.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{2401}{16}$ .

$- \frac{2401}{16}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{7}{2}$ in $f (x) = x^{4} - 7 x^{3}$ è $(\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 42 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 42 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 42 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 42$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 4.2$

Passaggio 5.2.2

Somma $0.12$ e $4.2$ .

$f'' (- 0.1) = 4.32$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $4.32$ .

$4.32$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $4.32$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{7}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.75$ nell'espressione.

$f'' (1.75) = 12 {(1.75)}^{2} - 42 \cdot 1.75$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $1.75$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.75) = 12 \cdot 3.0625 - 42 \cdot 1.75$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $3.0625$ .

$f'' (1.75) = 36.75 - 42 \cdot 1.75$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 42$ per $1.75$ .

$f'' (1.75) = 36.75 - 73.5$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $73.5$ da $36.75$ .

$f'' (1.75) = - 36.75$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 36.75$ .

$- 36.75$

Passaggio 6.3

Per $1.75$ , la derivata seconda è $- 36.75$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \frac{7}{2})$ .

Decrescente su $(0, \frac{7}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{7}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.6$ nell'espressione.

$f'' (3.6) = 12 {(3.6)}^{2} - 42 \cdot 3.6$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3.6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.6) = 12 \cdot 12.96 - 42 \cdot 3.6$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $12.96$ .

$f'' (3.6) = 155.52 - 42 \cdot 3.6$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 42$ per $3.6$ .

$f'' (3.6) = 155.52 - 151.2$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $151.2$ da $155.52$ .

$f'' (3.6) = 4.32$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $4.32$ .

$4.32$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $3.6$ , la derivata seconda è $4.32$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{7}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{7}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$ .

$(0, 0), (\frac{7}{2}, - \frac{2401}{16})$

Passaggio 9