Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} - 2 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} - 2 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 6 x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 x^{3} - 6 (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 x^{3} - 12 x$ .

$20 x^{3} - 12 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $20 x^{3} - 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$20 x^{3} - 12 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $4 x$ da $20 x^{3} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4 x$ da $20 x^{3}$ .

$4 x (5 x^{2}) - 12 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $4 x$ da $- 12 x$ .

$4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (5 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $5 x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $5 x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$5 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $5 x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} = 3$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{2} = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{2} = 3$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{3}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{3}{5}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{5}$

Passaggio 2.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{5}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{5}$

Passaggio 2.5.2.4.4.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Passaggio 2.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (5 x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = x^{5} - 2 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{5} - 2 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = x^{5} - 2 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{\sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = x^{5} - 2 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{15}}{5}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{5} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{{\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{5}$ come $\sqrt{15^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{\sqrt{15^{5}}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Eleva $15$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{\sqrt{759375}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Riscrivi $759375$ come $225^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.3.1

Scomponi $50625$ da $759375$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{\sqrt{50625 (15)}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3.2

Riscrivi $50625$ come $225^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{\sqrt{225^{2} \cdot 15}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{225 \sqrt{15}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{225 \sqrt{15}}{3125} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $225$ e $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $25$ da $225 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (9 \sqrt{15})}{3125} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.2.1

Scomponi $25$ da $3125$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (9 \sqrt{15})}{25 (125)} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (9 \sqrt{15})}{25 \cdot 125} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{3}$ come $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{\sqrt{15^{3}}}{5^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{\sqrt{3375}}{5^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.6.3

Riscrivi $3375$ come $15^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.3.1

Scomponi $225$ da $3375$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{\sqrt{225 (15)}}{5^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.6.3.2

Riscrivi $225$ come $15^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{5^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.6.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{15 \sqrt{15}}{5^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{15 \sqrt{15}}{125}$

Passaggio 3.3.2.1.8

Elimina il fattore comune di $15$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

Scomponi $5$ da $15 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{5 (3 \sqrt{15})}{125}$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.2.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 (25)}$

Passaggio 3.3.2.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 25}$

Passaggio 3.3.2.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 \frac{3 \sqrt{15}}{25}$

Passaggio 3.3.2.1.9

Moltiplica $- 2 \frac{3 \sqrt{15}}{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.9.1

$- 2$ e $\frac{3 \sqrt{15}}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} + \frac{- 2 (3 \sqrt{15})}{25}$

Passaggio 3.3.2.1.9.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} + \frac{- 6 \sqrt{15}}{25}$

Passaggio 3.3.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - \frac{6 \sqrt{15}}{25}$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $- \frac{6 \sqrt{15}}{25}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - \frac{6 \sqrt{15}}{25} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $125$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{6 \sqrt{15}}{25}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - \frac{6 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Moltiplica $25$ per $5$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15}}{125} - \frac{6 \sqrt{15} \cdot 5}{125}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15} - 6 \sqrt{15} \cdot 5}{125}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{9 \sqrt{15} - 30 \sqrt{15}}{125}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sottrai $30 \sqrt{15}$ da $9 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{- 21 \sqrt{15}}{125}$

Passaggio 3.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{21 \sqrt{15}}{125}$

Passaggio 3.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{21 \sqrt{15}}{125}$ .

$- \frac{21 \sqrt{15}}{125}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{\sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = x^{5} - 2 x^{3}$ è $(\frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{21 \sqrt{15}}{125})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{21 \sqrt{15}}{125})$

Passaggio 3.5

Sostituisci $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = x^{5} - 2 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{{\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{5}$ come $\sqrt{15^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{\sqrt{15^{5}}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.3.2

Eleva $15$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{\sqrt{759375}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.3.3

Riscrivi $759375$ come $225^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.3.3.1

Scomponi $50625$ da $759375$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{\sqrt{50625 (15)}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.3.3.2

Riscrivi $50625$ come $225^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{\sqrt{225^{2} \cdot 15}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.3.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{225 \sqrt{15}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{225 \sqrt{15}}{3125} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.5

Elimina il fattore comune di $225$ e $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.5.1

Scomponi $25$ da $225 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (9 \sqrt{15})}{3125} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.5.2.1

Scomponi $25$ da $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (9 \sqrt{15})}{25 (125)} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (9 \sqrt{15})}{25 \cdot 125} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{3})$

Passaggio 3.5.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}}))$

Passaggio 3.5.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}})$

Passaggio 3.5.2.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.8.1

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{3}$ come $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{15^{3}}}{5^{3}})$

Passaggio 3.5.2.1.8.2

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{3375}}{5^{3}})$

Passaggio 3.5.2.1.8.3

Riscrivi $3375$ come $15^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.8.3.1

Scomponi $225$ da $3375$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{225 (15)}}{5^{3}})$

Passaggio 3.5.2.1.8.3.2

Riscrivi $225$ come $15^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{5^{3}})$

Passaggio 3.5.2.1.8.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{15 \sqrt{15}}{5^{3}})$

Passaggio 3.5.2.1.9

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{15 \sqrt{15}}{125})$

Passaggio 3.5.2.1.10

Elimina il fattore comune di $15$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.10.1

Scomponi $5$ da $15 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{5 (3 \sqrt{15})}{125})$

Passaggio 3.5.2.1.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.10.2.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 (25)})$

Passaggio 3.5.2.1.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 25})$

Passaggio 3.5.2.1.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} - 2 (- \frac{3 \sqrt{15}}{25})$

Passaggio 3.5.2.1.11

Moltiplica $- 2 (- \frac{3 \sqrt{15}}{25})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} + 2 (\frac{3 \sqrt{15}}{25})$

Passaggio 3.5.2.1.11.2

$2$ e $\frac{3 \sqrt{15}}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} + \frac{2 (3 \sqrt{15})}{25}$

Passaggio 3.5.2.1.11.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} + \frac{6 \sqrt{15}}{25}$

Passaggio 3.5.2.2

Per scrivere $\frac{6 \sqrt{15}}{25}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} + \frac{6 \sqrt{15}}{25} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.5.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $125$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Moltiplica $\frac{6 \sqrt{15}}{25}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} + \frac{6 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Moltiplica $25$ per $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = - \frac{9 \sqrt{15}}{125} + \frac{6 \sqrt{15} \cdot 5}{125}$

Passaggio 3.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{- 9 \sqrt{15} + 6 \sqrt{15} \cdot 5}{125}$

Passaggio 3.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{- 9 \sqrt{15} + 30 \sqrt{15}}{125}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Somma $- 9 \sqrt{15}$ e $30 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{\sqrt{15}}{5}) = \frac{21 \sqrt{15}}{125}$

Passaggio 3.5.2.6

La risposta finale è $\frac{21 \sqrt{15}}{125}$ .

$\frac{21 \sqrt{15}}{125}$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = x^{5} - 2 x^{3}$ è $(- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{21 \sqrt{15}}{125})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{21 \sqrt{15}}{125})$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{21 \sqrt{15}}{125}), (- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{21 \sqrt{15}}{125})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{5})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.87459666$ nell'espressione.

$f'' (- 0.87459666) = 20 {(- 0.87459666)}^{3} - 12 \cdot - 0.87459666$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.87459666$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.87459666) = 20 \cdot - 0.6689959 - 12 \cdot - 0.87459666$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 0.6689959$ .

$f'' (- 0.87459666) = - 13.37991803 - 12 \cdot - 0.87459666$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 0.87459666$ .

$f'' (- 0.87459666) = - 13.37991803 + 10.49516003$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 13.37991803$ e $10.49516003$ .

$f'' (- 0.87459666) = - 2.884758$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 2.884758$ .

$- 2.884758$

Passaggio 5.3

Per $- 0.87459666$ , la derivata seconda è $- 2.884758$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{5})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{5})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\sqrt{15}}{5}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.38729833$ nell'espressione.

$f'' (- 0.38729833) = 20 {(- 0.38729833)}^{3} - 12 \cdot - 0.38729833$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.38729833$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.38729833) = 20 \cdot - 0.05809475 - 12 \cdot - 0.38729833$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 0.05809475$ .

$f'' (- 0.38729833) = - 1.161895 - 12 \cdot - 0.38729833$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 0.38729833$ .

$f'' (- 0.38729833) = - 1.161895 + 4.64758001$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 1.161895$ e $4.64758001$ .

$f'' (- 0.38729833) = 3.48568501$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $3.48568501$ .

$3.48568501$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.38729833$ , la derivata seconda è $3.48568501$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{\sqrt{15}}{5}, 0)$ .

Crescente su $(- \frac{\sqrt{15}}{5}, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{\sqrt{15}}{5})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.38729833$ nell'espressione.

$f'' (0.38729833) = 20 {(0.38729833)}^{3} - 12 \cdot 0.38729833$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.38729833$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.38729833) = 20 \cdot 0.05809475 - 12 \cdot 0.38729833$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $20$ per $0.05809475$ .

$f'' (0.38729833) = 1.161895 - 12 \cdot 0.38729833$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $0.38729833$ .

$f'' (0.38729833) = 1.161895 - 4.64758001$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $4.64758001$ da $1.161895$ .

$f'' (0.38729833) = - 3.48568501$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 3.48568501$ .

$- 3.48568501$

Passaggio 7.3

Per $0.38729833$ , la derivata seconda è $- 3.48568501$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \frac{\sqrt{15}}{5})$ .

Decrescente su $(0, \frac{\sqrt{15}}{5})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.87459666$ nell'espressione.

$f'' (0.87459666) = 20 {(0.87459666)}^{3} - 12 \cdot 0.87459666$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.87459666$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.87459666) = 20 \cdot 0.6689959 - 12 \cdot 0.87459666$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $20$ per $0.6689959$ .

$f'' (0.87459666) = 13.37991803 - 12 \cdot 0.87459666$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $0.87459666$ .

$f'' (0.87459666) = 13.37991803 - 10.49516003$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $10.49516003$ da $13.37991803$ .

$f'' (0.87459666) = 2.884758$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $2.884758$ .

$2.884758$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.87459666$ , la derivata seconda è $2.884758$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{21 \sqrt{15}}{125}), (0, 0), (\frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{21 \sqrt{15}}{125})$ .

$(- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{21 \sqrt{15}}{125}), (0, 0), (\frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{21 \sqrt{15}}{125})$

Passaggio 10