Calcolo Esempi

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

Passaggio 1.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

Passaggio 1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

Passaggio 1.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

Passaggio 1.1.4.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

Passaggio 1.1.4.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

Passaggio 1.1.4.3.4

Moltiplica $8$ per $- 12$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} - 96 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 96$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 96 x$ rispetto a $x$ è $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 96$ per $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{2} - 96$ .

$24 x^{2} - 96$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $24 x^{2} - 96 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$24 x^{2} - 96 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $96$ a entrambi i lati dell'equazione.

$24 x^{2} = 96$

Passaggio 2.3

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x^{2} = 96$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x^{2} = 96$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{96}{24}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $96$ per $24$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2$ in $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.3

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 2 \cdot 64$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $2$ per $64$ .

$f (2) = 128$

Passaggio 3.1.2.5

La risposta finale è $128$ .

$128$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ è $(2, 128)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, 128)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $2$ per $64$ .

$f (- 2) = 128$

Passaggio 3.3.2.5

La risposta finale è $128$ .

$128$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ è $(- 2, 128)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, 128)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(2, 128), (- 2, 128)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $24$ per $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $96$ da $105.84$ .

$f'' (- 2.1) = 9.84$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $9.84$ .

$9.84$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $9.84$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $24$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $96$ da $0$ .

$f'' (0) = - 96$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 96$ .

$- 96$

Passaggio 6.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 96$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, 2)$ .

Decrescente su $(- 2, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $24$ per $4.41$ .

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $96$ da $105.84$ .

$f'' (2.1) = 9.84$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $9.84$ .

$9.84$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $9.84$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

Passaggio 9