Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{8} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{4}{8}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.2.2.3

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.2.2.4

$\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Passaggio 3.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Combina.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.1.1.3.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Passaggio 3.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 3.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 3.6

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 3.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 3.7.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 3.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2$ in $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $12$ da $2$ .

$f (2) = - 10$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $- 10$ .

$- 10$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ è $(2, - 10)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, - 10)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (- 2) = 2 - 12$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $12$ da $2$ .

$f (- 2) = - 10$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $- 10$ .

$- 10$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ è $(- 2, - 10)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, - 10)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $13.23$ per $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $6$ da $6.615$ .

$f'' (- 2.1) = 0.615$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.615$ .

$0.615$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $0.615$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $0$ per $2$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 7.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 6$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, 2)$ .

Decrescente su $(- 2, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4.41$ .

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Passaggio 8.2.1.3

Dividi $13.23$ per $2$ .

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $6$ da $6.615$ .

$f'' (2.1) = 0.615$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.615$ .

$0.615$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $0.615$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 2, - 10), (2, - 10)$ .

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

Passaggio 10