Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 9) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Combina i termini opposti in $2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1.1

Sottrai $2 x^{2} x$ da $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 9 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.1.2

Somma $2 \cdot - 9 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 9 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x - 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.3

Sottrai $2 x$ da $- 18 x$ .

$f' (x) = \frac{- 20 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$f' (x) = - \frac{20 x}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{20 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica ${(x + 3)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 3)}^{2} (x - 3)) \frac{d}{d x} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + 0) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) \cdot 1 + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 (x + 3) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 \cdot ({(x - 3)}^{2} (x + 3)) \frac{d}{d x} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + 0))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) \cdot 1)}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.5.3

$- 20$ e $\frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(20) ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Applica la regola del prodotto a ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)) - x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.1

Scomponi $20 (x + 3) (x - 3)$ da $20 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.1.1

Scomponi $20 (x + 3) (x - 3)$ da $20 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.1.2

Scomponi $20 (x + 3) (x - 3)$ da $20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.1.3

Scomponi $20 (x + 3) (x - 3)$ da $20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.1.4

Scomponi $20 (x + 3) (x - 3)$ da $20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.1.5

Scomponi $20 (x + 3) (x - 3)$ da $20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3)) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.1

Espandi $(x + 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x (x - 3) + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.2.2

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.3.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.3.8.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.3.9

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.4

Combina i termini opposti in $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.4.1

Somma $- 6 x$ e $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.4.2

Somma $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 9 - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (- 3 x^{2} - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.7

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.4.7.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.7.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) + 3 (- 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.7.3

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) \cdot (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.4.8

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{2 \cdot 2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.9.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.9.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9.5.3

Elimina il fattore comune di $x + 3$ e ${(x + 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.3.1

Scomponi $x + 3$ da $60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.3.2.1

Scomponi $x + 3$ da ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Passaggio 2.2.9.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Passaggio 2.2.9.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(60 (x - 3)) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9.5.4

Elimina il fattore comune di $x - 3$ e ${(x - 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.4.1

Scomponi $x - 3$ da $60 (x - 3) (- x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.5.4.2.1

Scomponi $x - 3$ da ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Passaggio 2.2.9.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Passaggio 2.2.9.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{60 (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2}) - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.7

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2}) - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.9

Riscrivi $- (x^{2} + 3)$ come $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (- 1 (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.2.9.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.9.12

Moltiplica $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$60 (x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $60$ ciascun termine in $60 (x^{2} + 3) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Dividi per $60$ ciascun termine in $60 (x^{2} + 3) = 0$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{60} = \frac{0}{60}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{60} = \frac{0}{60}$

Passaggio 3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2} + 3$ per $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{60}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $60$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 4

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso