Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$ come funzione.

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 2.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 2.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 2.1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.3.9

$- 5$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 2.1.3.10

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.1.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.1.4

$\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.9

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.10

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.11

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2.12

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- \frac{10}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{10}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.16

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.3.17

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 2.2.3.18

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Passaggio 3.2.2

Since $9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

$9$ presenta fattori di $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Passaggio 3.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.6

Il minimo comune multiplo di $9, 9, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3 \cdot 3$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9$

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{1}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo di $9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ è la parte numerica $9$ moltiplicata per la parte variabile.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $9 x^{\frac{4}{3}}$ ciascun termine in $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ per $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Scomponi $x^{\frac{1}{3}}$ da $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$10 x^{\frac{3}{3}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.4

Dividi $3$ per $3$ .

$10 x^{1} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.5

Semplifica.

$10 x + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$10 x + 9 \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$10 x + 9 \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$10 x + \frac{10}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.8

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$10 x + \frac{10}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$10 x + 10 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$10 x + 10 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{4}{3}}$ .

$10 x + 10 = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 10$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 10}{10}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $- 10$ per $10$ .

$x = - 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.6

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.1.2.1.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 1) = - 1 - 5 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.1.2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1) = - 1 - 5 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.9

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f (- 1) = - 1 - 5$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$f (- 1) = - 6$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$ è $(- 1, - 6)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, - 6)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Per scrivere $\frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $\frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}} {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica ${(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sposta ${(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 1.1)}^{\frac{3}{3}} {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.1)}^{\frac{3 + 1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.2.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}} + 10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 (- 1.1) + 10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.4.2

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 \cdot - 1.1 + 10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.4.3

Moltiplica $10$ per $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 11 + 10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.4.4

Somma $- 11$ e $10$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.5

Riscrivi $- 1$ come $1 (- 1)$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{1 (- 1)}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Scomponi $1$ da $9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{1 (- 1)}{1 (9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 6.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 1.1) = \frac{1 \cdot - 1}{1 (9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 6.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 1.1) = - \frac{1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.8

La risposta finale è $- \frac{1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 0.09785144$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.9$ nell'espressione.

$f'' (- 0.9) = \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Per scrivere $\frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $\frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}} {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica ${(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Sposta ${(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 0.9)}^{\frac{3}{3}} {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.9)}^{\frac{3 + 1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.2.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}} + 10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 (- 0.9) + 10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.4.2

Eleva $- 0.9$ alla potenza di $1$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 \cdot - 0.9 + 10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.4.3

Moltiplica $10$ per $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{- 9 + 10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.4.4

Somma $- 9$ e $10$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{1}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.5

Riscrivi $1$ come $1 (1)$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{1 (1)}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Scomponi $1$ da $9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{1 (1)}{1 (9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 7.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 0.9) = \frac{1 \cdot 1}{1 (9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 7.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 0.9) = \frac{1}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.2.7

La risposta finale è $\frac{1}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{1}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 0.9$ , la derivata seconda è $0.12786965$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, \infty)$ .

Crescente su $(- 1, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- 1, - 6)$ .

$(- 1, - 6)$

Passaggio 9